区分求積法4

2017年12月21日

区分求積法を利用して極限値が収束する条件を求める問題です。

1.(名古屋大)
正数からなる数列\{a_n\}が,条件{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}(a_k)^2=n^2+2nを満たしているとする.数列\left\{\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n^r}\right\}が収束する実数rの範囲を求めよ.また,収束する場合,その極限値を求めよ.

解答

2.(東京工業大)
実数a,~bに対しx_n=\dfrac{1}{n^b}\left\{\dfrac{1}{n^a}+\dfrac{1}{(n+1)^a}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)^a}\right\},~n=1,~2,~3,~\cdotsとおく.n \to \inftyのときx_nが収束するためのa,~bの条件およびそのときの極限値を求めよ.

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