区分求積法5

次は区分求積法を利用してはさみうちの原理で極限値を求める問題です。

1.(大阪市立大)
(1) x \geqq 0のとき,不等式x-\dfrac{1}{2}x^2 \leqq \log(1+x) \leqq xが成り立つことを示せ.
(2) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\dfrac{k}{n^2}\right)}を求めよ.

2.(大阪大)
実数xに対して,xを超えない最大の整数を[x]で表す.nを正の整数としa_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}とおく.このとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

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