区分求積法５

2017年12月10日

次は区分求積法を利用してはさみうちの原理で極限値を求める問題です。

１．(大阪市立大)
(1) $x \geqq 0$ のとき，不等式 $x-\dfrac{1}{2}x^2 \leqq \log(1+x) \leqq x$ が成り立つことを示せ．
(2) 極限値 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\dfrac{k}{n^2}\right)}$ を求めよ．

２．(大阪大)
実数 $x$ に対して， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す． $n$ を正の整数とし $a_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}$ とおく．このとき， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．