区分求積法６

2017年12月11日2017年12月26日

区分求積法の応用問題です。

１．(東京都立大)
線分ABを直径とする半径1の半円周を $n$ 等分する点をAの方から順に $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots,~\mbox{P}_{n-1}$ とする．三角形 $\mbox{AP}_k\mbox{B}$ の周の長さを $L(k,n)$ で表す．
(1) $L(k,n)$ を求めよ．
(2) $L(n,n)=4$ として ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}L(k,n)$ を求めよ．

次はサイクロイドの弧長を区分求積法で求めています。

２．(北海道大)
半径1の円に内接する正 $n$ 角形が $xy$ 平面上にある．1つの辺ABが $x$ 軸に含まれている状態から始めて，正 $n$ 角形を $x$ 軸上をすべらないように転がし，再び点Aが $x$ 軸に含まれる状態まで続ける．点Aが描く軌跡の長さを $L(n)$ とする．
(1) $L(6)$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}L(n)$ を求めよ．

次はインボリュートと円とで囲まれる部分の面積を区分求積法で求めています。２も３も中学入試からおなじみの問題ですが、最終的にこのような問題につながっているということでとても面白い問題です。

３．(北海道大)
$n$ を2以上の整数とし，周囲の長さが2の正 $2n$ 角形 $K$ と， $K$ の一つの頂点Pを考える．
(1) $K$ と同じ平面上で，Pを一端とする長さ1の棒を $K$ の内部を通らないようにして動かす．棒が通ることができる点の全体からなる図形(棒が通過し得る領域)の面積を求めよ．
(2) $K$ と同じ平面上で，Pを一端とする長さ1のひもを $K$ の内部を通らないようにして動かす．ひもが通過し得る領域の面積を $S_n$ として，極限 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_n$ を求めよ．

４．(首都大)
座標平面上の点 $(x,y)$ で $x$ と $y$ がともに整数であるものを格子点と呼ぶ． $n \geqq 2$ である整数 $n$ に対して，3つの条件
$x^2+y^2 \leqq n^2,~x>0,~y>0$
を満たす格子点 $(x,y)$ の総数を $P(n)$ で表す．
(1) 不等式 ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(\sqrt{n^2-k^2}-1) \leqq P(n) \leqq \sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{n^2-k^2}}$ が成り立つことを示せ．
(2) 等式 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{P(n)}{n^2}=\dfrac{\pi}{4}$ が成り立つことを示せ．

５．(東京大)
Oを原点とする $xyz$ 空間に点 $\mbox{P}_k\left(\dfrac{k}{n},1-\dfrac{k}{n},0\right),~k=0,~1,~\cdots,~n$ をとる．また， $z$ 軸上 $z \geqq 0$ の部分に，点 $\mbox{Q}_k$ を線分 $\mbox{P}_k\mbox{Q}_k$ の長さが1になるようにとる．三角すい $\mbox{OP}_k\mbox{P}_{k+1}\mbox{Q}_k$ の体積を $V_k$ とおいて，極限 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}V_k}$ を求めよ．

→解答

次は確率への応用問題です。

６．(名古屋大)
$N個~(N \geqq 2)$ の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れていく．玉が2つ入った箱ができたら，そこでその手続きを中止する．ちょうど $k$ 回目で玉が2つ入った箱ができる確率を $P(N,k)$ とする．
(1) $2 \leqq k \leqq N+1$ のとき， $P(N,k)$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{N \to \infty}}\dfrac{1}{N}\log P(2N,N+1)$ を区分求積法を用いて求めよ．

→解答

７．(京都大)
$n$ 個のボールを $2n$ 個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を $p_n$ とする．このとき，極限値 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\log p_n}{n}$ を求めよ．

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