区分求積法6

2017年12月26日

区分求積法の応用問題です。

1.(東京都立大)
線分ABを直径とする半径1の半円周をn等分する点をAの方から順に\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots,~\mbox{P}_{n-1}とする.三角形\mbox{AP}_k\mbox{B}の周の長さをL(k,n)で表す.
(1) L(k,n)を求めよ.
(2) L(n,n)=4として{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}L(k,n)を求めよ.

次はサイクロイドの弧長を区分求積法で求めています。

2.(北海道大)
半径1の円に内接する正n角形がxy平面上にある.1つの辺ABがx軸に含まれている状態から始めて,正n角形をx軸上をすべらないように転がし,再び点Aがx軸に含まれる状態まで続ける.点Aが描く軌跡の長さをL(n)とする.
(1) L(6)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}L(n)を求めよ.

次はインボリュートと円とで囲まれる部分の面積を区分求積法で求めています。2も3も中学入試からおなじみの問題ですが、最終的にこのような問題につながっているということでとても面白い問題です。

3.(北海道大)
nを2以上の整数とし,周囲の長さが2の正2n角形Kと,Kの一つの頂点Pを考える.
(1) Kと同じ平面上で,Pを一端とする長さ1の棒をKの内部を通らないようにして動かす.棒が通ることができる点の全体からなる図形(棒が通過し得る領域)の面積を求めよ.
(2) Kと同じ平面上で,Pを一端とする長さ1のひもをKの内部を通らないようにして動かす.ひもが通過し得る領域の面積をS_nとして,極限{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

4.(首都大)
座標平面上の点(x,y)xyがともに整数であるものを格子点と呼ぶ.n \geqq 2である整数nに対して,3つの条件
x^2+y^2 \leqq n^2,~x>0,~y>0
を満たす格子点(x,y)の総数をP(n)で表す.
(1) 不等式{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(\sqrt{n^2-k^2}-1) \leqq P(n) \leqq \sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{n^2-k^2}}が成り立つことを示せ.
(2) 等式{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{P(n)}{n^2}=\dfrac{\pi}{4}が成り立つことを示せ.

5.(東京大)
Oを原点とするxyz空間に点\mbox{P}_k\left(\dfrac{k}{n},1-\dfrac{k}{n},0\right),~k=0,~1,~\cdots,~nをとる.また,z軸上z \geqq 0の部分に,点\mbox{Q}_kを線分\mbox{P}_k\mbox{Q}_kの長さが1になるようにとる.三角すい\mbox{OP}_k\mbox{P}_{k+1}\mbox{Q}_kの体積をV_kとおいて,極限{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}V_k}を求めよ.

解答

次は確率への応用問題です。

6.(名古屋大)
N個~(N \geqq 2)の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れていく.玉が2つ入った箱ができたら,そこでその手続きを中止する.ちょうどk回目で玉が2つ入った箱ができる確率をP(N,k)とする.
(1) 2 \leqq k \leqq N+1のとき,P(N,k)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{N \to \infty}}\dfrac{1}{N}\log P(2N,N+1)を区分求積法を用いて求めよ.

解答

7.(京都大)
n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる.各ボールはいずれかの箱に入るものとし,どの箱に入る確率も等しいとする.どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をp_nとする.このとき,極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\log p_n}{n}を求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ