区分求積法７

2017年12月11日2017年12月21日

区分求積と面積評価の問題です。面積を利用し不等式を作り、最後に区分求積法を利用して計算します。

１．
$n \geqq 2$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$\log(n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}<1+\log n$

２．((1) 岡山県立大　(2) 大阪大　(3) 芝浦工業大　(4) お茶の水女子大)
(1) ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{k^2} \leqq 2-\dfrac{1}{n}~(n \geqq 2)$
(2) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{4}~(n \geqq 2)$
(3) $S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}}$ をするとき， $n<S<n+1$ を満たす自然数は $n=(~~~~~)$ である．
(4) $2\sqrt{n+1}-2<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1~(n \geqq 1)$

次は前にも出てきましたがバーゼル問題に関わる問題です。具体的に和を求めるのは難しいので、本問では評価をしています。

３．(日本医大)
自然数 $m,~n$ は， $2 \leqq m<n$ を満たすとする．
(1) 次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$\dfrac{n+1-m}{m(n+1)}<\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{(m+1)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)^2}+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{n+1-m}{n(m-1)}$
(2) 次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$\dfrac{3}{2} \leqq {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right) \leqq 2$
(3) (2)の不等式をより精密にした，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$\dfrac{29}{18} \leqq {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right) \leqq \dfrac{61}{36}$

→解答

４．(宮崎大)
$n$ を自然数とするとき，
極限値 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\cdots+\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)$ を求めよ．

５．(東京工業大)
(1) 極限値 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k}}$ を求めよ．
(2) 任意の正数 $a$ に対して ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{a+k}}$ は(1)と同じ極限値をもつことを証明せよ．

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