区分求積法7

2017年12月21日

区分求積と面積評価の問題です。面積を利用し不等式を作り、最後に区分求積法を利用して計算します。

1.
n \geqq 2のとき,次の不等式を証明せよ.
\log(n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}<1+\log n

2.((1) 岡山県立大 (2) 大阪大 (3) 芝浦工業大 (4) お茶の水女子大)
(1) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{k^2} \leqq 2-\dfrac{1}{n}~(n \geqq 2)
(2) \dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{4}~(n \geqq 2)
(3) S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}}をするとき,n<S<n+1を満たす自然数はn=(~~~~~)である.
(4) 2\sqrt{n+1}-2<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1~(n \geqq 1)

次は前にも出てきましたがバーゼル問題に関わる問題です。具体的に和を求めるのは難しいので、本問では評価をしています。

3.(日本医大)
自然数m,~nは,2 \leqq m<nを満たすとする.
(1) 次の不等式が成り立つことを証明せよ.
\dfrac{n+1-m}{m(n+1)}<\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{(m+1)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)^2}+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{n+1-m}{n(m-1)}
(2) 次の不等式が成り立つことを証明せよ.
\dfrac{3}{2} \leqq {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right) \leqq 2
(3) (2)の不等式をより精密にした,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
\dfrac{29}{18} \leqq {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right) \leqq \dfrac{61}{36}

解答

4.(宮崎大)
nを自然数とするとき,
極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\cdots+\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)を求めよ.

5.(東京工業大)
(1) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k}}を求めよ.
(2) 任意の正数aに対して{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{a+k}}は(1)と同じ極限値をもつことを証明せよ.

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