区分求積法8

7の続きです。n!の評価です。

1.(信州大)
(1) kを2以上の自然数とするとき,
{\displaystyle\int_{k-1}^{k}\log xdx}<\log k<{\displaystyle\int_{k}^{k+1}\log xdx}
であることを示せ.
(2) すべての自然数nについて,
n^ne^{-n}<n!<(n+1)^{n+1}e^{-n}
であることを示せ.

2.(滋賀県立大)
(1) nを2以上の自然数とするとき,不等式
{\displaystyle\int_{1}^{n}\log xdx}<\log 1+\log 2+\cdots+\log n
が成り立つことを示せ.
(2) aを正の実数とするとき,上の不等式を用いて{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a^n}{n!}=0を示せ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\left(2+\dfrac{n}{n+1}\right)^n}{n!}を求めよ.

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