区分求積法9

次は台形の面積を利用して面積評価します。

1.(埼玉大)
f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}とし,曲線y=f(x)~(x>0)の変曲点を(a,f(a))とする.
(1) aの値を求めよ.
(2) 定積分{\displaystyle\int_{a}^{1}f(x)dx}を求めよ.
(3) 4点(a,f(a)),~(a,0),~(1,0),~(1,f(1))を頂点とする台形の面積と定積分{\displaystyle\int_{a}^{1}f(x)dx}を比較することにより,円周率\piは3.17より小さいことを証明せよ.必要なら,\sqrt{3}=1.732\cdotsを用いてよい.

2.(東京大)
(1) 0<x<aを満たす実数x,~aに対し,次を示せ.
\dfrac{2x}{a}<{\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t}dt}<x\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\right)
(2) (1)を利用して,0.68<\log 2<0.71を示せ.ただし,\log 2は2の自然対数を表す.

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