区分求積法９

2017年12月12日

次は台形の面積を利用して面積評価します。

１．(埼玉大)
$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ とし，曲線 $y=f(x)~(x>0)$ の変曲点を $(a,f(a))$ とする．
(1) $a$ の値を求めよ．
(2) 定積分 ${\displaystyle\int_{a}^{1}f(x)dx}$ を求めよ．
(3) 4点 $(a,f(a)),~(a,0),~(1,0),~(1,f(1))$ を頂点とする台形の面積と定積分 ${\displaystyle\int_{a}^{1}f(x)dx}$ を比較することにより，円周率 $\pi$ は3.17より小さいことを証明せよ．必要なら， $\sqrt{3}=1.732\cdots$ を用いてよい．

２．(東京大)
(1) $0<x<a$ を満たす実数 $x,~a$ に対し，次を示せ．
$\dfrac{2x}{a}<{\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t}dt}<x\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\right)$
(2) (1)を利用して， $0.68<\log 2<0.71$ を示せ．ただし， $\log 2$ は2の自然対数を表す．