区分求積法10

2017年12月21日

9の続きです。

1.(大阪教育大)
nを2以上の自然数とする.
(1) 曲線y=\sqrt{x}~(x>0)は上に凸であることを示せ.
(2) 次の不等式を示せ.
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\dfrac{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{2}<\dfrac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1)
(3) 次の不等式を示せ.
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\sqrt{k}>\dfrac{2}{3}\left\{\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right\}
(4) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\left(\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{k}{n}}\right)-\dfrac{2}{3}n\right\}}を求めよ.

2.(大阪府立大)
自然数kに対して,a_kI_k
a_k=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}\right),~I_k={\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}}
で定める.また,自然数nに対して,b_nJ_n
b_n={\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}a_{k}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n-1},~J_n=\int_{n}^{2n}\dfrac{dx}{x}}
で定める.
(1) b_3を求めよ.
(2) 自然数nに対してJ_nを求めよ.
(3) すべての自然数kに対してa_k>I_kであることを証明せよ.
(4) すべての自然数nに対してb_n>J_nであることを証明せよ.
(5) \log 2<0.7を証明せよ.ただし,\log xxの自然対数である.

3.(東京大)
(1) すべての自然数kに対して,次の不等式を示せ.
\dfrac{1}{2(k+1)}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-x}{k+x}dx}<\dfrac{1}{2k}
(2) m>nであるようなすべての自然数mnに対して,次の不等式を示せ.
\dfrac{m-n}{2(m+1)(n+1)}<\log\dfrac{m}{n}-{\displaystyle\sum_{k=n+1}^{m}}\dfrac{1}{k}<\dfrac{m-n}{2mn}

4.(京都大)
(1) 0 \leqq \alpha < \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}であるとき,次の不等式を示せ.
{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sin xdx+\int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha}\sin xdx}>(\beta-\alpha)(\sin\alpha+\sin(\pi-\beta))
(2) {\displaystyle\sum_{k=1}^{7}}\sin\dfrac{k\pi}{8}<\dfrac{16}{\pi}を示せ.

解答

5.(東京医科歯科大)
次の条件(A), (B), (C)を満たす関数f(x)~(x>0)を考える.
(A) f(1)=0
(B) 導関数f'(x)が存在し,f'(x)>0~(x>0)
(C) 第2次導関数f''(x)が存在し,f''(x)<0~(x>0)
(1) a \geqq \dfrac{3}{2}のとき,次の3つの数の大小を比較せよ.
f(a),~\dfrac{1}{2}\left\{f\left(a-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\right\},~{\displaystyle\int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}f(x)dx}
(2) 整数n~(n \geqq 2)に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.
{\displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{n}f(x)dx<\sum_{k=1}^{n-1}f(k)+\dfrac{1}{2}f(n)<\int_{1}^{n}f(x)dx}
(3) 次の極限値を求めよ.ただし,\logは自然対数を表す.
{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{n+\log n!-\log n^n}{\log n}

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