区分求積法１０

2017年12月12日2017年12月21日

９の続きです。

１．(大阪教育大)
$n$ を2以上の自然数とする．
(1) 曲線 $y=\sqrt{x}~(x>0)$ は上に凸であることを示せ．
(2) 次の不等式を示せ．
${\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\dfrac{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{2}<\dfrac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1)$
(3) 次の不等式を示せ．
${\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\sqrt{k}>\dfrac{2}{3}\left\{\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right\}$
(4) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\left(\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt{\dfrac{k}{n}}\right)-\dfrac{2}{3}n\right\}}$ を求めよ．

２．(大阪府立大)
自然数 $k$ に対して， $a_k$ と $I_k$ を
$a_k=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}\right),~I_k={\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}}$
で定める．また，自然数 $n$ に対して， $b_n$ と $J_n$ を
$b_n={\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}a_{k}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n-1},~J_n=\int_{n}^{2n}\dfrac{dx}{x}}$
で定める．
(1) $b_3$ を求めよ．
(2) 自然数 $n$ に対して $J_n$ を求めよ．
(3) すべての自然数 $k$ に対して $a_k>I_k$ であることを証明せよ．
(4) すべての自然数 $n$ に対して $b_n>J_n$ であることを証明せよ．
(5) $\log 2<0.7$ を証明せよ．ただし， $\log x$ は $x$ の自然対数である．

３．(東京大)
(1) すべての自然数 $k$ に対して，次の不等式を示せ．
$\dfrac{1}{2(k+1)}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-x}{k+x}dx}<\dfrac{1}{2k}$
(2) $m>n$ であるようなすべての自然数 $m$ と $n$ に対して，次の不等式を示せ．
$\dfrac{m-n}{2(m+1)(n+1)}<\log\dfrac{m}{n}-{\displaystyle\sum_{k=n+1}^{m}}\dfrac{1}{k}<\dfrac{m-n}{2mn}$

４．(京都大)
(1) $0 \leqq \alpha < \beta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるとき，次の不等式を示せ．
${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sin xdx+\int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha}\sin xdx}>(\beta-\alpha)(\sin\alpha+\sin(\pi-\beta))$
(2) ${\displaystyle\sum_{k=1}^{7}}\sin\dfrac{k\pi}{8}<\dfrac{16}{\pi}$ を示せ．

→解答

５．(東京医科歯科大)
次の条件(A), (B), (C)を満たす関数 $f(x)~(x>0)$ を考える．
(A) $f(1)=0$
(B) 導関数 $f'(x)$ が存在し， $f'(x)>0~(x>0)$
(C) 第2次導関数 $f''(x)$ が存在し， $f''(x)<0~(x>0)$
(1) $a \geqq \dfrac{3}{2}$ のとき，次の3つの数の大小を比較せよ．
$f(a),~\dfrac{1}{2}\left\{f\left(a-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\right\},~{\displaystyle\int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}f(x)dx}$
(2) 整数 $n~(n \geqq 2)$ に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
${\displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{n}f(x)dx<\sum_{k=1}^{n-1}f(k)+\dfrac{1}{2}f(n)<\int_{1}^{n}f(x)dx}$
(3) 次の極限値を求めよ．ただし， $\log$ は自然対数を表す．
${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{n+\log n!-\log n^n}{\log n}$

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