積分の平均値の定理

2017年12月12日2017年12月21日

積分の平均値の定理を利用する問題です。

１．((1) 山形大　(2) 東京電機大　(3) 弘前大)
(1) 関数 $f(x)=(x-1)^2$ に対して，極限 ${\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt}$ を求めよ．
(2) 極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}dt}$ を求めよ．
(3) 極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x-1}\int_{1}^{x^2}\dfrac{dt}{\sqrt{1+t}}}$ を求めよ．

２．(大分医大)
$0<a<b \leqq c<d \leqq \pi$ のとき，次の不等式を示せ．
$\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\sin x}{x}dx>\dfrac{1}{d-c}\int_{c}^{d}\dfrac{\sin x}{x}dx}$

３．(奈良女子大)
$1<a<b$ ならば $\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}\log xdx}<\log\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ が成り立つことを示せ．

４．(早稲田大)
$a$ を定数， $n$ を正の整数とし， $I_n={\displaystyle\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}x\cos^2(x-a)dx}$ とする． ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}nI_n$ を求めよ．

５．(京都大)
(1) $f(x)$ は $a \leqq x \leqq b$ で連続な関数とする．このとき，
$\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx}=f(c),~a \leqq c \leqq b$
となる $c$ が存在することを示せ．
(2) $y=\sin x$ の $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分と $y=1$ および $y$ 軸が囲む図形を， $y$ 軸のまわりに回転してできる立体を考える．この立体を $y$ 軸に垂直な $n-1$ 個の平面によって各部分の体積が等しくなるように $n$ 個に分割するとき， $y=1$ に最も近い平面の $y$ 座標を $y_n$ とする．このとき， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n(1-y_n)$ を求めよ．