積分の平均値の定理

2017年12月21日

積分の平均値の定理を利用する問題です。

1.((1) 山形大 (2) 東京電機大 (3) 弘前大)
(1) 関数f(x)=(x-1)^2に対して,極限{\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt}を求めよ.
(2) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}dt}を求めよ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{x-1}\int_{1}^{x^2}\dfrac{dt}{\sqrt{1+t}}}を求めよ.

2.(大分医大)
0<a<b \leqq c<d \leqq \piのとき,次の不等式を示せ.
\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\sin x}{x}dx>\dfrac{1}{d-c}\int_{c}^{d}\dfrac{\sin x}{x}dx}

3.(奈良女子大)
1<a<bならば\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}\log xdx}<\log\left(\dfrac{a+b}{2}\right)が成り立つことを示せ.

4.(早稲田大)
aを定数,nを正の整数とし,I_n={\displaystyle\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}x\cos^2(x-a)dx}とする.{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}nI_nを求めよ.

5.(京都大)
(1) f(x)a \leqq x \leqq bで連続な関数とする.このとき,
\dfrac{1}{b-a}{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx}=f(c),~a \leqq c \leqq b
となるcが存在することを示せ.
(2) y=\sin x0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}の部分とy=1およびy軸が囲む図形を,y軸のまわりに回転してできる立体を考える.この立体をy軸に垂直なn-1個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき,y=1に最も近い平面のy座標をy_nとする.このとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n(1-y_n)を求めよ.

解答

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