面積１

2017年12月12日2019年2月2日

面積の問題です。まずは曲線と $x$ 軸 ( $y$ 軸)とで囲まれた部分の面積を求める問題です。

１．A (徳島大)
$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲で $f(x)=2\sin x-\sin 2x$ を考える．
(1) $f(x)$ の最大値および最小値を求めよ．
(2) $x$ 軸と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

→解答

２．B (大分大)
$a \ne 0$ とし，曲線 $C:y=\log x$ 上の点 $(e^a,a)$ における接線を $l$ とする．ただし，対数は自然対数である．
(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ．
(2) 接線 $l$ ， $y$ 軸および直線 $y=a$ で囲まれた三角形の面積を $S_1$ とする．また，曲線 $C$ ， $x$ 軸， $y$ 軸および直線 $y=a$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする． $S_1=S_2$ となる $a$ の値を求めよ．

→解答

３．B (名古屋大)
曲線 $y=\log x$ 上の点P $(a,\log a)$ ，点Q $(b,\log b)~(1<a<b)$ をとる．点P, Qから $x$ 軸に下ろした2本の垂線と $x$ 軸および曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする．点P, Qから $y$ 軸に下ろした2本の垂線と $y$ 軸および曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を $T$ とする．このとき， $S=T$ となるように $b$ がとれる $a$ の範囲を求めよ．

→解答

４．B (名古屋市立大)
関数 $f(x)=|x-3|\sqrt{x}~(x \geqq 0)$ について
(1) 関数 $f(x)$ の増減表を書き， $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ．
(2) $0 \leqq x \leqq 3$ において曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を $S_1$ とし，曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸および直線 $x=\alpha~(\alpha \geqq 3)$ とで囲まれた部分の面積を $S_2$ とする． $S_1=S_2$ を満たす $\alpha$ の値および面積 $S_1$ を求めよ．

→解答

５．B (奈良県立医大)
実数 $a$ は正の定数とする．関数 $f(x)=|ax-\sqrt{1-x^2}|~(0 \leqq x \leqq 1)$ によって表される曲線 $C:y=f(x)$ について
(1) 関数 $y=f(x)$ の増減，凹凸を調べ，曲線 $C$ の概形をかけ．
(2) 曲線 $C$ ， $x$ 軸，および $y$ 軸とで囲まれる部分の面積を $S_1$ ，曲線 $C$ ， $x$ 軸，および直線 $x=1$ とで囲まれる部分の面積を $S_2$ とする．このとき， $S_1=S_2$ となるように $a$ の値を定めよ．