面積4

2019年2月2日

次は2曲線に囲まれる部分の面積です。

1.B (芝浦工業大)
aを正の定数とするとき,曲線y=a\cos x~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)と両座標軸で囲まれた部分の面積を曲線y=\sin xが2等分するようにaの値を定めよ.

解答

2.B (東北大)
aa>1を満たす実数とし,y=\sin xのグラフとy=\sin axのグラフのx>0における交点のうち,x座標が最も小さい点をPとする.点Pのx座標をf(a)とおくとき,
(1) f(a)aで表せ.
(2) 0 \leqq x \leqq f(a)において,y=\sin xのグラフとy=\sin axのグラフで囲まれた図形の面積S(a)aで表せ.
(3) (2)のS(a)について,{\displaystyle\lim_{a \to \infty}}aS(a)を求めよ.

解答

3.C (京都大)
a \geqq 0とする.0 \leqq x \leqq \sqrt{2}の範囲で曲線y=xe^{-x},直線y=ax,直線x=\sqrt{2}によって囲まれた部分の面積をS(a)とする.このとき,S(a)の最小値を求めよ.(ここで「囲まれた部分」とは,上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.)

解答

4.C (東京慈恵会医大)
aを正の実数の定数とし,xy平面上の2曲線C_1:y=xe^{-x},~C_2:y=ae^{-x}を考える.このとき,次の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底である.
(1) 関数y=xe^{-x}の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をxy平面上にかけ.ただし,必要ならば{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}xe^{-x}=0を用いてよい.
(2) 1 \leqq x \leqq 2の範囲で,C_1,~C_2と2直線x=1,~x=2で囲まれた部分の面積S(a)aを用いて表せ.
(3) aa>0の範囲を動くとき,S(a)が最小となるaの値を求めよ.

解答

5.B (早稲田大)
a0<a<1を満たす定数とする.直線y=aと曲線y=\left|\dfrac{x}{x+1}\right|によって囲まれる図形の面積Sを求めよ.

解答

6.B (岡山大)
曲線y=\left|x-\dfrac{1}{x}\right|~(x>0)と直線y=2で囲まれた領域の面積Sを求めよ.

解答

7.C (北里大)
実数全体を定義域とする関数f(x)は奇関数で微分可能であるとする.さらに,f'(x)も微分可能でf'(0)=0を満たし,x>0の範囲でf''(x)>0であるとする.y=f(x)のグラフをC_1C_1x軸方向にay軸方向にf(a)だけ平行移動した曲線をC_2とする.ただし,aは正の定数とする.
(1) f(0)の値を求めよ.
(2) f'(x)は偶関数であることを示せ.
(3) C_1C_2の共有点の個数が2個であることを示し,その2点のx座標を求めよ.
(4) C_1C_2で囲まれる図形の面積をS(a)とする.a0<a \leqq 3の範囲を動くとき,S(a)を最大にするaの値を求めよ.

解答

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