面積４

2017年12月12日2019年2月2日

次は2曲線に囲まれる部分の面積です。

１．B (芝浦工業大)
$a$ を正の定数とするとき，曲線 $y=a\cos x~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ と両座標軸で囲まれた部分の面積を曲線 $y=\sin x$ が2等分するように $a$ の値を定めよ．

→解答

２．B (東北大)
$a$ を $a>1$ を満たす実数とし， $y=\sin x$ のグラフと $y=\sin ax$ のグラフの $x>0$ における交点のうち， $x$ 座標が最も小さい点をPとする．点Pの $x$ 座標を $f(a)$ とおくとき，
(1) $f(a)$ を $a$ で表せ．
(2) $0 \leqq x \leqq f(a)$ において， $y=\sin x$ のグラフと $y=\sin ax$ のグラフで囲まれた図形の面積 $S(a)$ を $a$ で表せ．
(3) (2)の $S(a)$ について， ${\displaystyle\lim_{a \to \infty}}aS(a)$ を求めよ．

→解答

３．C (京都大)
$a \geqq 0$ とする． $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$ ，直線 $y=ax$ ，直線 $x=\sqrt{2}$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする．このとき， $S(a)$ の最小値を求めよ．(ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．)

→解答

４．C (東京慈恵会医大)
$a$ を正の実数の定数とし， $xy$ 平面上の2曲線 $C_1:y=xe^{-x},~C_2:y=ae^{-x}$ を考える．このとき，次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．
(1) 関数 $y=xe^{-x}$ の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形を $xy$ 平面上にかけ．ただし，必要ならば ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}xe^{-x}=0$ を用いてよい．
(2) $1 \leqq x \leqq 2$ の範囲で， $C_1,~C_2$ と2直線 $x=1,~x=2$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を $a$ を用いて表せ．
(3) $a$ が $a>0$ の範囲を動くとき， $S(a)$ が最小となる $a$ の値を求めよ．

→解答

５．B (早稲田大)
$a$ は $0<a<1$ を満たす定数とする．直線 $y=a$ と曲線 $y=\left|\dfrac{x}{x+1}\right|$ によって囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ．

→解答

６．B (岡山大)
曲線 $y=\left|x-\dfrac{1}{x}\right|~(x>0)$ と直線 $y=2$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ．

→解答

７．C (北里大)
実数全体を定義域とする関数 $f(x)$ は奇関数で微分可能であるとする．さらに， $f'(x)$ も微分可能で $f'(0)=0$ を満たし， $x>0$ の範囲で $f''(x)>0$ であるとする． $y=f(x)$ のグラフを $C_1$ ， $C_1$ を $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $f(a)$ だけ平行移動した曲線を $C_2$ とする．ただし， $a$ は正の定数とする．
(1) $f(0)$ の値を求めよ．
(2) $f'(x)$ は偶関数であることを示せ．
(3) $C_1$ と $C_2$ の共有点の個数が2個であることを示し，その2点の $x$ 座標を求めよ．
(4) $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を $S(a)$ とする． $a$ が $0<a \leqq 3$ の範囲を動くとき， $S(a)$ を最大にする $a$ の値を求めよ．