面積5

2019年2月2日

ある関数とその逆関数など対称な関数とで囲まれる部分の面積を求める問題です。

1.B (大阪府立大)
eは自然対数の底を表す.
(1) 方程式\dfrac{e^x-1}{e-1}-x=0の解は0, 1のみであることを証明せよ.
(2) 関数y=\dfrac{e^x-1}{e-1}のグラフとその逆関数のグラフとで囲まれる図形の面積を求めよ.

解答

2.B (上智大)
曲線y=x+\sin xと曲線x=y+\sin yの第1象限の部分を考える.
(1) 第1象限にあるこの2曲線の交点のうち原点Oに近いに最も近い交点Pの座標は(  )である.
(2) この2曲線のOPの間にある部分で囲まれる図形の面積は(  )である.

解答

3.C (東京大)
Oを原点とする座標平面上の曲線
C:y=\dfrac{1}{2}x+\sqrt{{\dfrac{1}{4}}x^2+2}
と,その上の相異なる2点\mbox{P}_1(x_1,y_1),~\mbox{P}_2(x_2,y_2)を考える.
(1) \mbox{P}_i~(i=1,~2)を通るx軸に平行な直線と,直線y=xとの交点を,それぞれ\mbox{H}_i~(i=1,~2)とする.このとき,\bigtriangleup\mbox{OP}_1\mbox{H}_1\bigtriangleup\mbox{OP}_2\mbox{H}_2の面積は等しいことを示せ.
(2) x_1<x_2とする.このときCx_1 \leqq x \leqq x_2の範囲にある部分と,線分\mbox{P}_1\mbox{O},~\mbox{P}_2\mbox{O}とで囲まれる図形の面積を,y_1,~y_2を用いて表せ.

解答

4.B (神戸大)
2つの関数f(x),~g(x)を考える.f(x)=e^x-2であり,y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフは原点に関して対称であるとする.ただし,eは自然対数の底である.
(1) g(x)を求めよ.
(2) y=f(x)y=g(x)の交点のx座標をすべて求めよ.
(3) y=f(x)y=g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ.

解答

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