面積6

2019年2月2日

次は接線がらみの面積の問題です。

1.B (琉球大)
x \geqq 0において,関数f(x)=-xe^{-x^2}を考える.
(1) y=f(x)の接線で,傾きが最大であるものを求めよ.
(2) (1)で求めた接線と曲線y=f(x)は接点以外に共有点をもたないことを示せ.
(3) (1)で求めた接線と,曲線y=f(x)およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

解答

2.B (長岡技術科学大)
曲線y=e^{-x}Cとする.
(1) C上の点P(t,e^{-t})における接線とx軸の交点をQとし,Qを通りx軸に垂直な直線とCとの交点をRとする.Cおよび2つの線分PQ, QRで囲まれる部分の面積S(t)を求めよ.
(2) \mbox{P}_1(0,1)とする.自然数nに対して,\mbox{P}_nから\mbox{Q}_n,~\mbox{P}_{n+1}を次のように定める.\mbox{P}_nにおけるCの接線とx軸との交点を\mbox{Q}_nとし,\mbox{Q}_nを通りx軸に垂直な直線とCとの交点を\mbox{P}_{n+1}とする.Cおよび2つの線分\mbox{P}_n\mbox{Q}_n,~\mbox{Q}_n\mbox{P}_{n+1}で囲まれる部分の面積をS_nとするとき,無限級数{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}S_nの和を求めよ.

解答

3.A (神奈川大)
曲線C_1:y=e^xC_2:y=a\sqrt{x}~(a>0)が1点Pを共有し,点Pでの接線が一致しているとき,
(1) 点Pのx座標を求めよ.
(2) aの値を求めよ.
(3) C_1,~C_2y軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

解答

4.B (東北大)
直線lは曲線C_1:y=e^x,~C_2:y=e^{ax}~(a>1)の両方に接するとする.
(1) lC_1との接点Pのx座標をsとし,lC_2との接点Qのx座標をtとする.このとき,s,~taを用いて表せ.
(2) a=2のとき,lC_1,~C_2で囲まれた図形の面積を求めよ.

解答

5.C (大阪大)
a>0とする.直線lが曲線C_1:y=\log xC_2:y=\log(x-a)+aのどちらにも接している.
(1) 直線lの方程式を求めよ.
(2) l,~C_1,~C_2により囲まれる部分の面積S(a)を求めよ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{a \to \infty}}\dfrac{S(a)}{a^2}を求めよ.ただし,{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{\log x}{x}=0を用いてよい.

解答

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