面積６

2017年12月13日2019年2月2日

次は接線がらみの面積の問題です。

１．B (琉球大)
$x \geqq 0$ において，関数 $f(x)=-xe^{-x^2}$ を考える．
(1) $y=f(x)$ の接線で，傾きが最大であるものを求めよ．
(2) (1)で求めた接線と曲線 $y=f(x)$ は接点以外に共有点をもたないことを示せ．
(3) (1)で求めた接線と，曲線 $y=f(x)$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

→解答

２．B (長岡技術科学大)
曲線 $y=e^{-x}$ を $C$ とする．
(1) $C$ 上の点P $(t,e^{-t})$ における接線と $x$ 軸の交点をQとし，Qを通り $x$ 軸に垂直な直線と $C$ との交点をRとする． $C$ および2つの線分PQ, QRで囲まれる部分の面積 $S(t)$ を求めよ．
(2) $\mbox{P}_1(0,1)$ とする．自然数 $n$ に対して， $\mbox{P}_n$ から $\mbox{Q}_n,~\mbox{P}_{n+1}$ を次のように定める． $\mbox{P}_n$ における $C$ の接線と $x$ 軸との交点を $\mbox{Q}_n$ とし， $\mbox{Q}_n$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $C$ との交点を $\mbox{P}_{n+1}$ とする． $C$ および2つの線分 $\mbox{P}_n\mbox{Q}_n,~\mbox{Q}_n\mbox{P}_{n+1}$ で囲まれる部分の面積を $S_n$ とするとき，無限級数 ${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}S_n$ の和を求めよ．

→解答

３．A (神奈川大)
曲線 $C_1:y=e^x$ と $C_2:y=a\sqrt{x}~(a>0)$ が1点Pを共有し，点Pでの接線が一致しているとき，
(1) 点Pの $x$ 座標を求めよ．
(2) $a$ の値を求めよ．
(3) $C_1,~C_2$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

→解答

４．B (東北大)
直線 $l$ は曲線 $C_1:y=e^x,~C_2:y=e^{ax}~(a>1)$ の両方に接するとする．
(1) $l$ と $C_1$ との接点Pの $x$ 座標を $s$ とし， $l$ と $C_2$ との接点Qの $x$ 座標を $t$ とする．このとき， $s,~t$ を $a$ を用いて表せ．
(2) $a=2$ のとき， $l$ と $C_1,~C_2$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

→解答

５．C (大阪大)
$a>0$ とする．直線 $l$ が曲線 $C_1:y=\log x$ と $C_2:y=\log(x-a)+a$ のどちらにも接している．
(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ．
(2) $l,~C_1,~C_2$ により囲まれる部分の面積 $S(a)$ を求めよ．
(3) 極限値 ${\displaystyle\lim_{a \to \infty}}\dfrac{S(a)}{a^2}$ を求めよ．ただし， ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{\log x}{x}=0$ を用いてよい．