面積７

2017年12月13日2019年2月2日

次は円がらみの面積の問題です。

１．B (愛知教育大)
座標平面上で関数 $y=e^x$ のグラフを $C_1$ とし， $C_1$ 上の点Pにおける接線と $x$ 軸が $\dfrac{\pi}{3}$ の角で交わるとする．第1象限に中心Qをもつ円が $C_1$ と点Pで， $x$ 軸と点Rで接している．その円のP, Rを両端とする弧のうち短い方を $C_2$ とする．
(1) 点P, Qの座標を求めよ．
(2) $x$ 軸， $y$ 軸， $C_1,~C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

→解答

２．C (京都大)
双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の第1象限にある部分と，原点Oを中心とする円の第1象限にある部分を，それぞれ $C_1,~C_2$ とする． $C_1$ と $C_2$ は2つの異なる点A, Bで交わり，点Aにおける $C_1$ の接線 $l$ と線分OAのなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする．このとき， $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

→解答

３．B (京都大)
$xy$ 平面内で， $y$ 軸上の点Pを中心とする円 $C$ が2つの曲線
$C_1:y=\sqrt{3}\log(x+1),~C_2:y=\sqrt{3}\log(1-x)$
とそれぞれ点A，点Bで接しているとする．さらに $\bigtriangleup$ PABはAとBが $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき，3つの曲線 $C,~C_1,~C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，2つの曲線がある点で接するとは，その点を共有し，さらにその点において共通の接線をもつことである．