面積7

2019年2月2日

次は円がらみの面積の問題です。

1.B (愛知教育大)
座標平面上で関数y=e^xのグラフをC_1とし,C_1上の点Pにおける接線とx軸が\dfrac{\pi}{3}の角で交わるとする.第1象限に中心Qをもつ円がC_1と点Pで,x軸と点Rで接している.その円のP, Rを両端とする弧のうち短い方をC_2とする.
(1) 点P, Qの座標を求めよ.
(2) x軸,y軸,C_1,~C_2で囲まれた部分の面積を求めよ.

解答

2.C (京都大)
双曲線y=\dfrac{1}{x}の第1象限にある部分と,原点Oを中心とする円の第1象限にある部分を,それぞれC_1,~C_2とする.C_1C_2は2つの異なる点A, Bで交わり,点AにおけるC_1の接線lと線分OAのなす角は\dfrac{\pi}{6}であるとする.このとき,C_1C_2で囲まれる図形の面積を求めよ.

解答

3.B (京都大)
xy平面内で,y軸上の点Pを中心とする円Cが2つの曲線
C_1:y=\sqrt{3}\log(x+1),~C_2:y=\sqrt{3}\log(1-x)
とそれぞれ点A,点Bで接しているとする.さらに\bigtriangleupPABはAとBがy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする.このとき,3つの曲線C,~C_1,~C_2で囲まれた部分の面積を求めよ.ただし,2つの曲線がある点で接するとは,その点を共有し,さらにその点において共通の接線をもつことである.

解答

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