面積9

2019年2月2日

8の続きです。双曲線によって囲まれる部分の面積ですが、積分計算が面倒な置換積分になります (ちなみに回転体の体積を求めるのは簡単です)。

1.B (秋田大)
(1) x+\sqrt{x^2-1}=tとおくことにより,不定積分{\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2-1}dx}を求めよ.
(2) 曲線x^2-y^2=1上に点P(p,q)~(p>1,~q>0)と点A(1,0)がある.2直線OA, OPとこの曲線とで囲まれる図形の面積Spの式で表せ.
(3) (2)におけるS\dfrac{\theta}{2}とおくとき,p,~q\thetaの式で表せ.

解答

2.B (横浜国立大)
(1) 関数y=x\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|を微分せよ.
(2) Oを原点とするxy平面上に,曲線C:y=\sqrt{x^2-1}~(x \geqq 1)がある.C上の点P(a,b)~(a>1)に対し,Cと直線OPおよびx軸で囲まれた部分の面積をSとする.aおよびbをそれぞれSを用いて表せ.

解答

3.B (広島大)
(1) aを正の定数とする.関数f(x)=\dfrac{e^x-ae^{-x}}{2}の逆関数f^{-1}(x)を求めよ.
(2) (1)で求めたf^{-1}(x)の導関数を求めよ.
(3) cを正の定数とする.x軸,y軸,直線x=cおよび曲線y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}で囲まれる部分の面積を求めよ.

解答

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