面積９

2017年12月13日2019年2月2日

８の続きです。双曲線によって囲まれる部分の面積ですが、積分計算が面倒な置換積分になります (ちなみに回転体の体積を求めるのは簡単です)。

１．B (秋田大)
(1) $x+\sqrt{x^2-1}=t$ とおくことにより，不定積分 ${\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{x^2-1}dx}$ を求めよ．
(2) 曲線 $x^2-y^2=1$ 上に点P $(p,q)~(p>1,~q>0)$ と点A $(1,0)$ がある．2直線OA, OPとこの曲線とで囲まれる図形の面積 $S$ を $p$ の式で表せ．
(3) (2)における $S$ を $\dfrac{\theta}{2}$ とおくとき， $p,~q$ を $\theta$ の式で表せ．

→解答

２．B (横浜国立大)
(1) 関数 $y=x\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|$ を微分せよ．
(2) Oを原点とする $xy$ 平面上に，曲線 $C:y=\sqrt{x^2-1}~(x \geqq 1)$ がある． $C$ 上の点P $(a,b)~(a>1)$ に対し， $C$ と直線OPおよび $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S$ とする． $a$ および $b$ をそれぞれ $S$ を用いて表せ．

→解答

３．B (広島大)
(1) $a$ を正の定数とする．関数 $f(x)=\dfrac{e^x-ae^{-x}}{2}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ．
(2) (1)で求めた $f^{-1}(x)$ の導関数を求めよ．
(3) $c$ を正の定数とする． $x$ 軸， $y$ 軸，直線 $x=c$ および曲線 $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

→解答

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Posted by 山彦のフドウ

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