面積10

2019年2月14日

次は媒介変数表示された曲線で囲まれる部分の面積です。

1.A
次の媒介変数表示の曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(1) x=2t+1,~y=2t-t^2~(0 \leqq t \leqq 2)
(2) x=2\cos\theta,~y=3\sin\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)

解答

2.B ((1) 宇都宮大 (2) 弘前大)
(1) 実数tを媒介変数としてx=3t^2,~y=3t-t^3で表される曲線によって囲まれた部分の面積を求めよ.
(2) tがすべての実数の範囲を動くとき
x=t^2+1,~y=t^2+t-2
を座標とする点(x,y)は,1つの曲線をえがく.この曲線とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ.

解答

3.B (青山学院大)
双曲線x^2-y^2=1の上に点P(x,y)~(ただし,x>0,~y \geqq 0)をとり,x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}~(t \geqq 0)とおけば
(1) y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}となることを示せ.
(2) 原点O(0,0)とP(x,y)とを結ぶ直線,x軸,およびこの双曲線によって囲まれる図形の面積が\dfrac{1}{2}tであることを証明せよ.ただし,積分には(1)の結果を利用せよ.

解答

4.B (東北大)
直線l:2x-\sqrt{3}y=0と,媒介変数で表された曲線C:x=\tan t,~y=\dfrac{1}{\cos t}~\left(0 \leqq t<\dfrac{\pi}{2}\right)を考える.
(1) lCの交点の座標を求めよ.
(2) lCおよびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

解答

5.C (東京大)
座標平面において,媒介変数tを用いて\left\{\begin{array}{l} x=\cos 2t\\ y=t\sin t \end{array}\right.~(0 \leqq t \leqq 2\pi)と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ