面積１１

2017年12月14日2019年2月2日

１０の続きです。次は有名な曲線に囲まれる部分の面積についてです。まずはサイクロイドから。

１．A (筑波大)
曲線 $\left\{\begin{array}{l} x=t-\sin t\\ y=1-\cos t \end{array}\right.~(0 \leqq t \leqq \pi)$ と $x$ 軸および直線 $x=\pi$ とで囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

→解答

次はトロコイドについて2つ。

２．C (名古屋大)
半径1の円盤 $C_1$ が半径2の円盤 $C_2$ に貼り付けられており，2つの円盤の中心は一致する． $C_2$ の周上にある定点をAとする．右の図のように，時刻 $t=0$ において $C_1$ はO $(0,0)$ で $x$ 軸に接し，Aは座標 $(0,-1)$ の位置にある．2つの円盤は一体となり， $C_1$ は $x$ 軸上をすべることなく転がっていく．時刻 $t$ で $C_1$ の中心が点 $(t,1)$ にあるように転がるとき， $0 \leqq t \leqq 2\pi$ においてAが描く曲線を $C$ とする．
(1) 時刻 $t$ におけるAの座標を $(x(t),y(t))$ で表す． $(x(t),y(t))$ を求めよ．
(2) $x(t)$ と $y(t)$ の $t$ に関する増減を調べ， $x(t)$ あるいは $y(t)$ が最大値または最小値をとるときのAの座標をすべて求めよ．
(3) $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

→解答

３．D (千葉大)
$r$ を1より大きい実数とする．半径1の円 $C$ の周上に点Qをとる．最初に円 $C$ の中心Pは座標平面の $(0,1)$ ，点Qは $(0,2)$ にあるものとし，円 $C$ が $x$ 軸に接しながら $x$ 軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角 $\theta$ ラジアンだけ回転したとき，半直線PQ上に $\mbox{PR}=r$ となる点Rをとる． $\theta$ を0から $2\pi$ まで動かしたときのRの軌跡を考える．
(1) $\alpha,~\beta$ は $0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi$ を満たし， $\theta=\alpha$ のときのRの座標と $\theta=\beta$ のときのRの座標が一致するものとする． $t=\dfrac{\beta-\alpha}{2}$ とおくとき， $r$ を $t$ を用いて表せ．
(2) (1)において， $\theta$ を $\alpha$ から $\beta$ まで動かしたときのRの軌跡によって囲まれた図形の面積を $S$ とする． $S$ を $t$ を用いて表せ．
(3) ${\displaystyle\lim_{r \to \infty}}\dfrac{S}{r^2}$ を求めよ．