面積11

2019年2月2日

10の続きです。次は有名な曲線に囲まれる部分の面積についてです。まずはサイクロイドから。

1.A (筑波大)
曲線\left\{\begin{array}{l} x=t-\sin t\\ y=1-\cos t \end{array}\right.~(0 \leqq t \leqq \pi)x軸および直線x=\piとで囲まれる部分の面積Sを求めよ.

解答

次はトロコイドについて2つ。

2.C (名古屋大)
半径1の円盤C_1が半径2の円盤C_2に貼り付けられており,2つの円盤の中心は一致する.C_2の周上にある定点をAとする.右の図のように,時刻t=0においてC_1はO(0,0)x軸に接し,Aは座標(0,-1)の位置にある.2つの円盤は一体となり,C_1x軸上をすべることなく転がっていく.時刻tC_1の中心が点(t,1)にあるように転がるとき,0 \leqq t \leqq 2\piにおいてAが描く曲線をCとする.
(1) 時刻tにおけるAの座標を(x(t),y(t))で表す.(x(t),y(t))を求めよ.
(2) x(t)y(t)tに関する増減を調べ,x(t)あるいはy(t)が最大値または最小値をとるときのAの座標をすべて求めよ.
(3) Cx軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

解答

3.D (千葉大)
rを1より大きい実数とする.半径1の円Cの周上に点Qをとる.最初に円Cの中心Pは座標平面の(0,1),点Qは(0,2)にあるものとし,円Cx軸に接しながらx軸の正の方向にすべることなく転がっていく.角\thetaラジアンだけ回転したとき,半直線PQ上に\mbox{PR}=rとなる点Rをとる.\thetaを0から2\piまで動かしたときのRの軌跡を考える.
(1) \alpha,~\beta0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\piを満たし,\theta=\alphaのときのRの座標と\theta=\betaのときのRの座標が一致するものとする.t=\dfrac{\beta-\alpha}{2}とおくとき,rtを用いて表せ.
(2) (1)において,\theta\alphaから\betaまで動かしたときのRの軌跡によって囲まれた図形の面積をSとする.Stを用いて表せ.
(3) {\displaystyle\lim_{r \to \infty}}\dfrac{S}{r^2}を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ