面積１２

2017年12月14日2019年2月2日

１１の続きです。ハイポサイクロイド (内サイクロイド)に囲まれる部分の面積についてです。

１．C (東京大)
半径10の円 $C$ がある．半径3の円板 $D$ を，円 $C$ に内接させながら，円 $C$ の円周に沿って滑ることなく転がす．円板 $D$ の周上の1点をPとする．点Pが，円 $C$ の円周に接してから再び円 $C$ の円周に接するまでに描く曲線は，円 $C$ を2つの部分に分ける．それぞれの面積を求めよ．

→解答

次はアステロイドで囲まれる部分の面積についてです。アステロイドはハイポサイクロイドの特別な場合です。

２．B (茨城大)
(1) $I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ とおくとき，
$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}~(n=2,~3,~4,~\cdots)$
が成り立つ．これを証明せよ．
(2) 曲線 $x=\cos^3 t,~y=\sin^3 t~\left(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ と $x$ 軸および $y$ 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

→解答

最後に発展問題です。

３．C (早稲田大)
動点Pは $x$ 軸の $2 \leqq x \leqq 4$ の部分，動点Qは $y$ 軸の $y \geqq 0$ の部分をPQ=4を満たしながら動く．このとき，線分PQが動いてできる領域を $F$ とする．また，Oは原点とし， $\angle$ QPOを $\alpha$ とする． $0 \leqq s \leqq 4$ を満たす $s$ を固定したとき，点 $(s,y)$ が $F$ に属するような $y$ の最大値を $t$ とし，線分PQが点 $(s,t)$ を通るときの $\alpha$ の値を $\theta$ とする．
(1) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ が成り立つ $s$ の値の範囲を求めよ．
(2) $s$ が(1)で求めた範囲に属さないとき， $s,~t$ を $\theta$ で表せ．
(3) $F$ の面積を求めよ．