面積12

2019年2月2日

11の続きです。ハイポサイクロイド (内サイクロイド)に囲まれる部分の面積についてです。

1.C (東京大)
半径10の円Cがある.半径3の円板Dを,円Cに内接させながら,円Cの円周に沿って滑ることなく転がす.円板Dの周上の1点をPとする.点Pが,円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は,円Cを2つの部分に分ける.それぞれの面積を求めよ.

解答

次はアステロイドで囲まれる部分の面積についてです。アステロイドはハイポサイクロイドの特別な場合です。

2.B (茨城大)
(1) I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおくとき,
I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}~(n=2,~3,~4,~\cdots)
が成り立つ.これを証明せよ.
(2) 曲線x=\cos^3 t,~y=\sin^3 t~\left(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)x軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.

解答

最後に発展問題です。

3.C (早稲田大)
動点Pはx軸の2 \leqq x \leqq 4の部分,動点Qはy軸のy \geqq 0の部分をPQ=4を満たしながら動く.このとき,線分PQが動いてできる領域をFとする.また,Oは原点とし,\angleQPOを\alphaとする.0 \leqq s \leqq 4を満たすsを固定したとき,点(s,y)Fに属するようなyの最大値をtとし,線分PQが点(s,t)を通るときの\alphaの値を\thetaとする.
(1) \theta=\dfrac{\pi}{3}が成り立つsの値の範囲を求めよ.
(2) sが(1)で求めた範囲に属さないとき,s,~t\thetaで表せ.
(3) Fの面積を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ