面積１３

2017年12月14日2019年2月2日

１３の続きです。エピサイクロイド (外サイクロイド)で囲まれる部分の面積についてです。

１．B (大阪府立大)
座標平面上に，原点Oを中心とする半径2の固定された円 $C$ と，それに外側から接しながら回転する半径1の円 $C'$ がある．円 $C'$ の中心が $(3,0)$ にあるときの $C'$ 側の接点に印Pをつけ，円 $C'$ を円 $C$ に接しながら滑らずに回転させる．点Pの描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．

→解答

次にカージオイドで囲まれる部分の面積について2題。カージオイドはエピサイクロイドの特別な場合です。

２．B (長崎大)
$xy$ 平面上に原点Oを中心とする半径1の円 $S_1$ と，点Aを中心とする半径1の円 $S_2$ がある．円 $S_2$ は円 $S_1$ に外接しながら，すべることなく円 $S_1$ のまわりを反時計回りに一周する．点Aの出発点は $(2,0)$ であり，円 $S_2$ 上の点で，このとき $(1,0)$ に位置している点をPとする．点Aが $(2,0)$ から出発し， $(2,0)$ に戻ってくるとき，点Pの描く曲線を $C$ とすると，図のようになる．また，動径OAと $x$ 軸の正の部分とのなす角が $\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ であるときの点Pの座標を $(x(\theta),y(\theta))$ とする．このとき，
(1) $x(\theta),~y(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ．
(2) 曲線 $C$ が $x$ 軸に関して対称であることを証明せよ．
(3) 曲線Cと円 $S_1$ によって囲まれた部分の面積を求めよ．

→解答

３．B (千葉大)
平面上に2つの円 $C_1:x^2+y^2=1,~C_2:\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$ があり，点 $(-1,0)$ で接している．
点 $\mbox{P}_1$ は $C_1$ 上を反時計周りに一定の速さで動き，点 $\mbox{P}_2$ は $C_2$ 上を反時計周りに一定の速さで動く．2点 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ はそれぞれ点 $(1,0)$ および点 $(-1,0)$ を時刻0に同時に出発する． $\mbox{P}_1$ は $C_1$ を1周して時刻 $2\pi$ に点 $(1,0)$ に戻り， $\mbox{P}_2$ は $C_2$ を2周して時刻 $2\pi$ に点 $(-1,0)$ に戻るものとする． $\mbox{P}_1$ と $\mbox{P}_2$ の中点をMとおく．
$\mbox{P}_1$ が $C_1$ を1周するときの点Mの軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．