面積13

2019年2月2日

13の続きです。エピサイクロイド (外サイクロイド)で囲まれる部分の面積についてです。

1.B (大阪府立大)
座標平面上に,原点Oを中心とする半径2の固定された円Cと,それに外側から接しながら回転する半径1の円C'がある.円C'の中心が(3,0)にあるときのC'側の接点に印Pをつけ,円C'を円Cに接しながら滑らずに回転させる.点Pの描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ.

解答

次にカージオイドで囲まれる部分の面積について2題。カージオイドはエピサイクロイドの特別な場合です。

2.B (長崎大)
xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円S_1と,点Aを中心とする半径1の円S_2がある.円S_2は円S_1に外接しながら,すべることなく円S_1のまわりを反時計回りに一周する.点Aの出発点は(2,0)であり,円S_2上の点で,このとき(1,0)に位置している点をPとする.点Aが(2,0)から出発し,(2,0)に戻ってくるとき,点Pの描く曲線をCとすると,図のようになる.また,動径OAとx軸の正の部分とのなす角が\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)であるときの点Pの座標を(x(\theta),y(\theta))とする.このとき,
(1) x(\theta),~y(\theta)\thetaを用いて表せ.
(2) 曲線Cx軸に関して対称であることを証明せよ.
(3) 曲線Cと円S_1によって囲まれた部分の面積を求めよ.

解答

3.B (千葉大)
平面上に2つの円C_1:x^2+y^2=1,~C_2:\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4}があり,点(-1,0)で接している.
\mbox{P}_1C_1上を反時計周りに一定の速さで動き,点\mbox{P}_2C_2上を反時計周りに一定の速さで動く.2点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2はそれぞれ点(1,0)および点(-1,0)を時刻0に同時に出発する.\mbox{P}_1C_1を1周して時刻2\piに点(1,0)に戻り,\mbox{P}_2C_2を2周して時刻2\piに点(-1,0)に戻るものとする.\mbox{P}_1\mbox{P}_2の中点をMとおく.
\mbox{P}_1C_1を1周するときの点Mの軌跡の概形を図示して,その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ.

解答

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