面積14

2019年2月7日

最後にインボリュート、リサジューで囲まれる部分の面積です。

1.B (芝浦工業大)
原点Oを中心とする半径aの円に糸がまきつけられていて,糸の端は点A(a,0)にあり,反時計回りにほどける.いま,糸をたわむことなくほどいていき,その糸と円の接点をRとし,\angle\mbox{AOR}=\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)とする.さらに,ほどかれた糸の端の座標をP(x,y)とする.
(1) xy\thetaの関数で表せ.
(2) 第1象限にあるPの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ.

解答

2.C (筑波大)
nは自然数とする.
(1) 1 \leqq k \leqq nを満たす自然数kに対して
{\displaystyle\int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi}\sin 2nt\cos t dt}=(-1)^{k+1}\dfrac{2n}{4n^2-1}\left(\cos\dfrac{k}{2n}\pi+\cos\dfrac{k-1}{2n}\pi\right)
が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数tによって,
x=\sin t,~y=\sin 2nt~(0 \leqq t \leqq \pi)
と表される曲線C_nで囲まれた部分の面積S_nを求めよ.ただし必要なら
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\cos\dfrac{k}{2n}\pi=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\tan\dfrac{\pi}{4n}}-1\right)~(n \geqq 2)
を用いてよい.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

解答

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