面積１５

2017年12月14日2019年2月2日

極方程式で表された曲線で囲まれる部分の面積についてです。

１．B (大阪市立大)
$xy$ 平面において，原点Oを極とし， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta)$ に関して，極方程式 $r=1+\cos\theta$ によって表される曲線 $C$ を考える．ただし，偏角 $\theta$ の動く範囲は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ とする．
(1) 曲線 $C$ 上の点で， $y$ 座標が最大となる点P $_1$ の極座標 $(r_1,\theta_1)$ ，および $x$ 座標が最小となる点P $_2$ の極座標 $(r_2,\theta_2)$ を求めよ．
(2) 上の(1)の点 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ に対して，2つの線分 $\mbox{OP}_1,~\mbox{OP}_2$ および曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ は $S=\dfrac{1}{2}{\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2d\theta}$ となることが知られている． $S$ の値を求めよ．

→解答

２．B (姫路工業大)
(1) 次の等式が成り立つことを示せ．
${\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin 2tdt=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos 2tdt}$
(2) 媒介変数 $t$ で表された次の曲線と， $x$ 軸とで囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．
$x=e^{-t}\cos t,~y=e^{-t}\sin t~(0 \leqq t \leqq \pi)$

→解答

３．B (名古屋工業大)
座標平面上に円 $C_1:y=x^2+y^2=1$ と点A $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ を考える． $C_1$ 上の点Pにおける接線に関して点Aと対称な点をQとする．点Pが円 $C_1$ 上を1周するときの点Qの軌跡を $C$ とする．点Pの座標を $(\cos t,\sin t)$ とするとき，
(1) 点Qの座標 $(x(t),y(t))$ を求めよ．
(2) 点Qの $x$ 座標 $x(t)$ の $0 \leqq t \leqq \pi$ における増減を調べよ．
(3) 曲線 $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

→解答

４．B (名古屋工業大)
座標平面上で，極方程式 $r=\sqrt{\cos 2\theta}$ が表す曲線の $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ に対応する部分を $C$ とする．
(1) 曲線 $C$ 上の点Pの直交座標 $(x,y)$ を $\theta$ の式で表せ．
(2) 曲線 $C$ 上の点Qの極座標を $(r,\theta)$ とする．点Qにおける $C$ の接線の傾きが $-1$ であるとき $\theta$ の値を求めよ．
(3) 曲線 $C$ と $x$ 軸によって囲まれる図形の $x \geqq \dfrac{\sqrt{6}}{4}$ の部分の面積を求めよ．