面積15

2019年2月2日

極方程式で表された曲線で囲まれる部分の面積についてです。

1.B (大阪市立大)
xy平面において,原点Oを極とし,x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\theta)に関して,極方程式r=1+\cos\thetaによって表される曲線Cを考える.ただし,偏角\thetaの動く範囲は0 \leqq \theta \leqq \piとする.
(1) 曲線C上の点で,y座標が最大となる点P_1の極座標(r_1,\theta_1),およびx座標が最小となる点P_2の極座標(r_2,\theta_2)を求めよ.
(2) 上の(1)の点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2に対して,2つの線分\mbox{OP}_1,~\mbox{OP}_2および曲線Cで囲まれた部分の面積SS=\dfrac{1}{2}{\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}r^2d\theta}となることが知られている.Sの値を求めよ.

解答

2.B (姫路工業大)
(1) 次の等式が成り立つことを示せ.
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\sin 2tdt=\int_{0}^{\pi}e^{-2t}\cos 2tdt}
(2) 媒介変数tで表された次の曲線と,x軸とで囲まれた図形の面積Sを求めよ.
x=e^{-t}\cos t,~y=e^{-t}\sin t~(0 \leqq t \leqq \pi)

解答

3.B (名古屋工業大)
座標平面上に円C_1:y=x^2+y^2=1と点A\left(\dfrac{1}{2},0\right)を考える.C_1上の点Pにおける接線に関して点Aと対称な点をQとする.点Pが円C_1上を1周するときの点Qの軌跡をCとする.点Pの座標を(\cos t,\sin t)とするとき,
(1) 点Qの座標(x(t),y(t))を求めよ.
(2) 点Qのx座標x(t)0 \leqq t \leqq \piにおける増減を調べよ.
(3) 曲線Cで囲まれた図形の面積Sを求めよ.

解答

4.B (名古屋工業大)
座標平面上で,極方程式r=\sqrt{\cos 2\theta}が表す曲線の0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}に対応する部分をCとする.
(1) 曲線C上の点Pの直交座標(x,y)\thetaの式で表せ.
(2) 曲線C上の点Qの極座標を(r,\theta)とする.点QにおけるCの接線の傾きが-1であるとき\thetaの値を求めよ.
(3) 曲線Cx軸によって囲まれる図形のx \geqq \dfrac{\sqrt{6}}{4}の部分の面積を求めよ.

解答

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