体積１

2017年12月15日2019年2月7日

(非回転体の)体積の問題です。基本は $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸のどれかに垂直な平面で切って断面積を求め、それを立体が存在する区間で積分するのですが、どの軸で切るかで断面積を求めるのが大変だったり、断面積は求められてもその積分が大変だったりします。上手く求められるように持っていかなければなりません。まずはくさび型の体積から。この問題はよく出る問題で手を変え品を変え出題されています。より簡単な問題から始めたければ数学Ⅱの積分法の体積からやってみて下さい。

１．B (京都大)
次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱 $C$ を考える．
$C=\{(x,y,z)~|~x^2+y^2 \leqq 4,~0 \leqq z \leqq 1\}$
$xy$ 平面上の直線 $y=1$ を含み， $xy$ 平面と45°の角をなす平面のうち，点 $(0,2,1)$ を通るものを $H$ とする．円柱 $C$ を平面 $H$ で2つに分けるとき，点 $(0,2,0)$ を含む方の体積を求めよ．

→解答

２．C (金沢大)
底円の半径1，高さ1の直円柱がある．底円の直径AB上に点Mを $\mbox{AM}=\dfrac{1}{2}$ となるように選び，底円の周上に2点C, Dを線分CDが点Mを通り，かつ $\mbox{CD} \bot \mbox{AB}$ となるように選ぶ．さらに，この直円柱上に点EをBE=1かつ $\mbox{BE} \bot \mbox{BA}$ となるように選ぶ．3点C, D, Eを通る平面 $\alpha$ でこの直円柱を切るとき，平面 $\alpha$ の下側にある部分の体積を求めよ．

→解答

３．C (東北大)
半径1の円を底面とする高さ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の直円柱がある．底面の円の中心をOとし，直径を1つとりABとおく．ABを含み底面と45°の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を $V$ とする．
(1) 直径ABと直交し，Oとの距離が $t~(0 \leqq t \leqq 1)$ であるような平面で $V$ を切ったときの断面積 $S(t)$ を求めよ．
(2) $V$ の体積を求めよ．