体積1

2019年2月7日

(非回転体の)体積の問題です。基本はx軸、y軸、z軸のどれかに垂直な平面で切って断面積を求め、それを立体が存在する区間で積分するのですが、どの軸で切るかで断面積を求めるのが大変だったり、断面積は求められてもその積分が大変だったりします。上手く求められるように持っていかなければなりません。まずはくさび型の体積から。この問題はよく出る問題で手を変え品を変え出題されています。より簡単な問題から始めたければ数学Ⅱの積分法の体積からやってみて下さい。

1.B (京都大)
次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える.
C=\{(x,y,z)~|~x^2+y^2 \leqq 4,~0 \leqq z \leqq 1\}
xy平面上の直線y=1を含み,xy平面と45°の角をなす平面のうち,点(0,2,1)を通るものをHとする.円柱Cを平面Hで2つに分けるとき,点(0,2,0)を含む方の体積を求めよ.

解答

2.C (金沢大)
底円の半径1,高さ1の直円柱がある.底円の直径AB上に点Mを\mbox{AM}=\dfrac{1}{2}となるように選び,底円の周上に2点C, Dを線分CDが点Mを通り,かつ\mbox{CD} \bot \mbox{AB}となるように選ぶ.さらに,この直円柱上に点EをBE=1かつ\mbox{BE} \bot \mbox{BA}となるように選ぶ.3点C, D, Eを通る平面\alphaでこの直円柱を切るとき,平面\alphaの下側にある部分の体積を求めよ.

解答

3.C (東北大)
半径1の円を底面とする高さ\dfrac{1}{\sqrt{2}}の直円柱がある.底面の円の中心をOとし,直径を1つとりABとおく.ABを含み底面と45°の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき,体積の小さい方の部分をVとする.
(1) 直径ABと直交し,Oとの距離がt~(0 \leqq t \leqq 1)であるような平面でVを切ったときの断面積S(t)を求めよ.
(2) Vの体積を求めよ.

解答

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