体積２

2017年12月15日2019年2月7日

１の続きです。よくある問題をいくつか並べてあります。立体の全体像を想像できるにこしたことはありませんが、それが分からなくても断面積が求まれば体積も求まるので、必ずしも全体像が分かる必要はありません(断面が分かればどんな立体かは大体わかりますが)。

１．B (東北大)
$xyz$ 空間の4点 $(0,0,0),~(\cos\theta,\sin\theta,0),~(\cos\theta,\sin\theta,\theta),~(0,0,\theta)$ を頂点とする長方形を $R_{\theta}$ とし， $\theta$ が0から $\dfrac{\pi}{2}$ まで変化するとき， $R_{\theta}$ が動いてできる立体を $K$ とする．
(1) $K$ を平面 $z=t~\left(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ で切ったときの切り口の面積を求めよ．
(2) $K$ の体積を求めよ．

→解答

２．B (名古屋大)
$xyz$ 空間で， $xy$ 平面上の原点を中心とし半径が1の円を $C$ とする．2点A $(0,0,1)$ , B $(1,0,1)$ を結ぶ線分AB上に点Pをとり，Pを頂点とし $C$ を底面とする円すい(中のつまったもの)を考え，PをAからBまで動かすとき，このような円すい全体で作られる立体を $D$ とする．
(1) 平面 $z=h~(0<h<1)$ でこの立体 $D$ を切った切り口の面積を求めよ．
(2) 立体 $D$ の体積を求めよ．

→解答

３．B (慶応大)
座標空間内の3点A $(1,0,1)$ , B $(0,2,3)$ , C $(0,0,3)$ と原点Oを頂点とする四面体OABCについて考える．
四面体OABCを平面 $z=t~(0<t<3)$ で切ったときの切り口の面積を $f(t)$ とする． $0<t \leqq 1$ のとき $f(t)=(~~~~~)$ である．また， $1<t<3$ のとき平面 $z=t$ と辺ABの交点の座標は(　　)となり， $f(t)=(~~~~~)$ となる．
次に，四面体OABCにおいて，2つの平面 $z=t$ と $z=t+2~(0<t<1)$ の間にはさまれた部分の体積を $g(t)$ とすると，その導関数は $g'(t)=(~~~~~)$ であり， $g(t)$ は $t=(~~~~~)$ のとき最大値をとる．

→解答

４．B (九州大)
座標空間内に，原点O $(0,0,0)$ を中心とする半径1の球がある．右の概略図のように， $y$ 軸の負の方向から仰角 $\dfrac{\pi}{6}$ で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル $(0,\sqrt{3},-1)$ に平行である．球は光を通さないものとするとき，
(1) 球 $z \geqq 0$ の部分が $xy$ 平面上につくる影を考える． $k$ を $-1<k<1$ を満たす実数とするとき， $xy$ 平面上の直線 $x=k$ において，球の外で光が当たらない部分の $y$ の範囲を $k$ を用いて表せ．
(2) $xy$ 平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3) $z \geqq 0$ において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．