体積2

2019年2月7日

1の続きです。よくある問題をいくつか並べてあります。立体の全体像を想像できるにこしたことはありませんが、それが分からなくても断面積が求まれば体積も求まるので、必ずしも全体像が分かる必要はありません(断面が分かればどんな立体かは大体わかりますが)。

1.B (東北大)
xyz空間の4点(0,0,0),~(\cos\theta,\sin\theta,0),~(\cos\theta,\sin\theta,\theta),~(0,0,\theta)を頂点とする長方形をR_{\theta}とし,\thetaが0から\dfrac{\pi}{2}まで変化するとき,R_{\theta}が動いてできる立体をKとする.
(1) Kを平面z=t~\left(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)で切ったときの切り口の面積を求めよ.
(2) Kの体積を求めよ.

解答

2.B (名古屋大)
xyz空間で,xy平面上の原点を中心とし半径が1の円をCとする.2点A(0,0,1), B(1,0,1)を結ぶ線分AB上に点Pをとり,Pを頂点としCを底面とする円すい(中のつまったもの)を考え,PをAからBまで動かすとき,このような円すい全体で作られる立体をDとする.
(1) 平面z=h~(0<h<1)でこの立体Dを切った切り口の面積を求めよ.
(2) 立体Dの体積を求めよ.

解答

3.B (慶応大)
座標空間内の3点A(1,0,1), B(0,2,3), C(0,0,3)と原点Oを頂点とする四面体OABCについて考える.
四面体OABCを平面z=t~(0<t<3)で切ったときの切り口の面積をf(t)とする.0<t \leqq 1のときf(t)=(~~~~~)である.また,1<t<3のとき平面z=tと辺ABの交点の座標は(  )となり,f(t)=(~~~~~)となる.
次に,四面体OABCにおいて,2つの平面z=tz=t+2~(0<t<1)の間にはさまれた部分の体積をg(t)とすると,その導関数はg'(t)=(~~~~~)であり,g(t)t=(~~~~~)のとき最大値をとる.

解答

4.B (九州大)
座標空間内に,原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球がある.右の概略図のように,y軸の負の方向から仰角\dfrac{\pi}{6}で太陽光線が当たっている.この太陽光線はベクトル(0,\sqrt{3},-1)に平行である.球は光を通さないものとするとき,
(1) 球z \geqq 0の部分がxy平面上につくる影を考える.k-1<k<1を満たす実数とするとき,xy平面上の直線x=kにおいて,球の外で光が当たらない部分のyの範囲をkを用いて表せ.
(2) xy平面上において,球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ.
(3) z \geqq 0において,球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ.

解答

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