体積3

2019年2月8日

次もよくある問題で、柱体の共通部分の体積を求める問題です。まずは円柱と円柱から。より基本的な問題は数学Ⅱの体積の方にあります。

1.B (東北大)
xyz空間において,半径が1でx軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C_1と,半径が1でy軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C_2がある.C_1C_2の共通部分のうちy \leqq \dfrac{1}{2}である部分をKとおく.
(1) u-1 \leqq u \leqq 1を満たす実数とするとき,平面z=uによるKの切断面の面積を求めよ.
(2) Kの体積を求めよ.

解答

次に三角柱と三角柱。

2.B (大阪大)
xyz空間内に2つの立体KLがある.どのようなaに対しても,平面z=aによる立体Kの切り口は3点(0,0,a),~(1,0,a),~\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},a\right)を頂点とする正三角形である.また,どのようなaに対しても,平面y=aによる立体Lの切り口は3点(0,a,0),~\left(0,a,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right),~\left(1,a,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)を頂点とする正三角形である.このとき,立体KLの共通部分の体積を求めよ.

解答

最後に円柱と四角柱の問題です。

3.C (九州大)
空間内に以下のような円柱と正四角柱を考える.円柱の中心軸はx軸で,中心軸に直交する平面による切り口は半径rの円である.正四角柱の中心軸はz軸で,xy平面による切り口は1辺の長さが\dfrac{2\sqrt{2}}{r}の正方形で,その正方形の対角線はx軸とy軸である.0<r \leqq \sqrt{2}とし,円柱と正四角柱の共通部分をKとする.
(1) 高さがz=t~(-r \leqq t \leqq r)xy平面に平行な平面とKとの交わりの面積を求めよ.
(2) Kの体積V(r)を求めよ.
(3) 0<r \leqq \sqrt{2}におけるV(r)の最大値を求めよ.

解答

発展問題を1つ。

4.C (京都府立医大)
nは2以上の整数とする.xyz座標空間において,xy平面上に,次で定められたn本の直線g_1,~g_2,~\cdots,~g_nがある.
g_k:x\cos\left(\dfrac{k}{n}\pi\right)+y\sin\left(\dfrac{k}{n}\pi\right)=0,~z=0~(k=1,~2,~\cdots,~n)
n本の直線g_1,~g_2,~\cdots,~g_nを中心軸にもち,半径aの円柱の内部の共通部分をK_nとし,その体積をV_nとする.
(1) n=2のときの立体図形K_2z \geqq 0の部分の概形を描け.
(2) 体積V_nを求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}V_nを求めよ.

解答

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