体積4

2019年2月7日

次は錐体の共通部分の問題です。まずは三角錐と三角錐から。

1.B (大阪大)
空間に8個の点A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1)をとる.
(1) 四面体ACFHを平面z=t~(0 \leqq t \leqq 1)で切断したとき,切断面の面積をtで表せ.
(2) 四面体ACFHと四面体BDEGの重なり合う部分の体積を求めよ.

解答

次は四角錐と円柱。

2.C (東京大)
xyz空間に5点A(1,1,0), B(-1,1,0), C(-1,-1,0), D(1,-1,0), P(0,0,3)をとる.四角錐PABCDのx^2+y^2 \geqq 1を満たす部分の体積を求めよ.

解答

次は三角錐と円柱です。

3.C (東京工業大)
xyz空間に4点P(0,0,2), A(0,2,0), B(\sqrt{3},-1,0), C(-\sqrt{3},-1,0)をとる.四面体PABCのx^2+y^2 \geqq 1を満たす部分の体積を求めよ.

解答

次は円錐と円柱。

4.C (東京大)
xyz空間において,平面z=0上の原点を中心とする半径2の円を底面とし,点(0,0,1)を頂点とする円錐をAとする.次に,平面z=0上の点(1,0,0)を中心とする半径1の円をH,平面z=1上の点(1,0,1)を中心とする半径1の円をKとする.HKを2つの底面とする円柱をBとする.円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする.0 \leqq t \leqq 1を満たす実数tに対し,平面z=tによるCの切り口の面積をS(t)とおく.
(1) 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}とする.t=1-\cos\thetaのとき,S(t)\thetaで表せ.
(2) Cの体積{\displaystyle\int_{0}^{1}S(t)dt}を求めよ.

解答

最後に円錐と円錐です。

5.D (東京大)
座標空間において,xy平面内で不等式|x| \leqq 1,~|y| \leqq 1により定まる正方形Sの4つの頂点をA(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0), D(-1,-1,0)とする.正方形Sを直線BDを軸として回転させてできる立体をV_1,直線ACを軸として回転させてできる立体をV_2とする.
(1) 0 \leqq t<1を満たす実数tに対し,平面x=tによるV_1の切り口の面積を求めよ.
(2) V_1V_2の共通部分の体積を求めよ.

解答

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