体積6

2019年2月9日

立体を斜めに切ったときの立体の体積の問題です。

1.C (早稲田大)
中心O,半径aの円を底面とし,高さがaの直円錐がある.点Oを通り,底面と45°の角度で交わる平面をPとする.
(1) この円錐をPで切るとき,その切り口の面積を求めよ.
(2) Pはこの円錐を2つの部分に分けるが,そのうちの小さい方の体積を求めよ.

解答

2.C (東京大)
放物線y=\dfrac{3}{4}-x^2y軸のまわりに回転して得られる曲面Kを,原点を通り回転軸と45°の角をなす平面Hで切る.曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ.

解答

3.C (岐阜薬科大)
xy平面上の曲線y=x^2~(-3 \leqq x \leqq 3)y軸のまわりに回転させて容器をつくり,この容器を水でいっぱいに満たした.xy平面に垂直に図のようにz軸をとった後,高さy=1にある容器上の1点がxz平面に接するまで容器を静かに傾けた.ただし,傾ける際に容器は常にxz平面に接するものとする.表面張力および容器の厚みを考えないものとして,以下の問いに答えよ.
(1) 容器を傾ける前の容器内の水の量を求めよ.
(2) 容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ.

解答

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