体積7

2019年2月9日

次は球の中心を正多角形に沿って移動させたときの球の通過領域の体積を求める問題です。まずは正方形に沿って球を動かす問題から。横浜国立大でも正三角形に沿って球を動かす出題があります。

1.B (滋賀医大)
(1) 平面で,辺の長さが4の正方形の辺に沿って,半径r~(r \leqq 1)の円の中心が1周するとき,この円が通過する部分の面積S(r)を求めよ.
(2) 空間で,辺の長さが4の正方形の辺に沿って,半径1の球の中心が1周するとき,この球が通過する部分の体積Vを求めよ.

解答

2.C (東京慈恵会医大)
nを3以上の整数とする.xyz空間上の平面z=0に,1辺の長さが4の正n角形Pがあり,Pの外接円の中心をGとおく.半径1の球Bの中心がPの辺に沿って1周するとき,Bが通過してできる立体をK_nとする.このとき,
(1) Pの隣り合う2つの頂点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2をとる.Gから辺\mbox{P}_1\mbox{P}_2に下ろした垂線と\mbox{P}_1\mbox{P}_2との交点をQとするとき,\mbox{GQ}>1となることを示せ.
(2) (ⅰ) K_nを平面z=t~(-1 \leqq t \leqq 1)で切ったときの断面積S(t)tnを用いて表せ.
(ⅱ) K_nの体積V(n)nを用いて表せ.
(3) Gを通り,平面z=0に垂直な直線をlとする.K_nlのまわりに1回転させてできる立体の体積W(n)nを用いて表せ.
(4) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{V(n)}{W(n)}を求めよ.

解答

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