体積8

2019年2月9日

不等式で表された立体の体積を求める問題です。

1.B (和歌山県立医大)
a>0とする.不等式0 \leqq z \leqq y^2-x^2,~|y| \leqq aを満たす領域について
(1) この領域と平面y=t~(|t| \leqq a)との共通部分の面積S(t)を求めよ.
(2) この領域の体積を求めよ.

解答

2.B (東海大)
連立不等式0 \leqq x \leqq \pi,~0 \leqq y \leqq \pi,~0 \leqq z \leqq \sin(x+y)を満たす点(x,y,z)全体からなる空間図形をDとする.
(1) x軸に垂直な平面x=tで切ったときの切り口の面積S(t)を求めよ.
(2) Dの体積を求めよ.

解答

3.B (大阪市立大)
連立不等式0 \leqq z \leqq e^{-(x^2+y^2)},~x^2+y^2 \leqq 1を満たす座標空間の点(x,y,z)全体がつくる領域をMとする.
(1) 0 \leqq t \leqq 1とするとき,平面z=tによるMの切り口の面積S(t)を求めよ.
(2) Mの体積を求めよ.

解答

4.B (お茶の水女子大)
xyz空間内において不等式
0 \leqq z \leqq \log(-x^2-y^2+3),~-x^2-y^2+3>0
で定まる立体Dを考える.
(1) Dはどの座標軸のまわりの回転体か,その座標軸を答えよ.
(2) Dの体積を求めよ.

解答

5.B (東京大)
xyz空間において次の6個の不等式で表される立体の体積を求めよ.
x \geqq 0,~y \geqq 0,~z \geqq 0,~x+y+z \leqq 3,~x+2z \leqq 4,~y-z \leqq 1

解答

6.B (北海道大)
xyz空間において,連立不等式
0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1,~0 \leqq z \leqq 1,~x^2+y^2+z^2-2xy-1 \geqq 0
の表す立体を考える.
(1) この立体を平面z=tで切ったときの断面をxy平面に図示し,この断面の面積S(t)を求めよ.
(2) この立体の体積を求めよ.

解答

7.B (明治大)
座標空間において,連立不等式
x^2+y^2 \leqq 1,~|x| \leqq \sin z,~|y| \leqq \sin z,~0 \leqq z \leqq \dfrac{\pi}{2}
で定められる立体をKとする.
(1) t0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}を満たす定数として,立体Kz軸に垂直な平面z=tで切ったときの断面積をS(t)とする.必要に応じて場合分けをして,S(t)tの式で表せ.
(2) 立体Kのうち,2つの平面z=0z=\dfrac{\pi}{4}ではさまれた部分の体積Vを求めよ.
(3) 立体Kの体積Wを求めよ.

解答

8.B (九州工業大)
xyz空間内の立体A:x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} \leqq 1について考える.
(1) 部分積分法を用いて
{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\dfrac{n-1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2} xdx}~(n=2,~3,~4,~\cdots)
を示せ.
(2) xy平面上の曲線x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}~(a>0)は,媒介変数t~(0 \leqq t \leqq 2\pi)を用いて,x=a\cos^3 t,~y=a\sin^3 tと表すことができる.この曲線で囲まれた部分の面積が,\dfrac{3}{8}\pi a^2であることを示せ.
(3) 立体Aの体積を求めよ.

解答

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