回転体の体積1

2019年2月16日

回転体の体積の問題です。これもより基本的な問題は数学Ⅱの積分法の体積のところにあります。まずは基本的な問題から。

1.A (東京医大)
a>0とする.座標平面上の曲線C:y=a-\sqrt{x}~(0 \leqq x \leqq a^2)と,x軸,y軸とで囲まれた図形をFとし,図形Fx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV_1,図形Fy軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV_2とする.V_1=V_2のときaの値を求めよ.

解答

次に2次曲線で囲まれる部分の回転体の体積についてです。

2.A
楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1x軸の周りに1回転して得られる立体の体積V_xy軸の周りに1回転して得られる立体の体積V_yを求めよ.

解答

3.A (富山県立大)
双曲線x^2-\dfrac{y^2}{3}=1と2直線y=3,~y=-3で囲まれた部分をx軸,y軸の周りに一回転してできる立体の体積を,それぞれV_1,~V_2とする.\dfrac{V_1}{V_2}を求めよ.

解答

次はアステロイドの回転体の体積についてです。

4.C (千葉大)
xy平面において,長さ1の線分ABを点Aが原点,点Bが点(1,0)に重なるようにおく.点Aをy軸に沿って点(1,0)まで移動させ,線分ABの長さを1に保ったまま点Bをx軸に沿って原点まで移動させる.このとき線分ABが通る領域をDとする.0 \leqq x \leqq 1となる実数xに対して,点(x,y)が領域Dに含まれるようなyの最大値をf(x)とする.
(1) f(x)xの式で表せ.
(2) 領域Dx軸を中心に回転させた立体の体積Vを求めよ.

解答

5.C (大阪大)
実数\thetaが動くとき,xy平面上の動点P(0,\sin\theta)およびQ(8\cos\theta,0)を考える.\theta0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲を動くとき,平面上で線分PQが通過する部分をDとする.Dx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.

解答

次は座標軸以外での回転体についてです。

6.B (神戸商船大)
曲線y=(\sqrt{x}-\sqrt{a})^2~(a>0)について
(1) この曲線のグラフをかけ.
(2) この曲線と直線y=aによって囲まれた図形の面積を求めよ.
(3) (2)の図形を直線y=aの周りに1回転してできる立体の体積を求めよ.

解答

次に減衰振動の曲線とx軸とで囲まれる部分の回転体の体積についてです。

7.B (宇都宮大)
曲線y=e^{-x}\sin xx軸および2直線x=(k-1)\pi,~x=k\piで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積をV_kとする.ただし,kは自然数,\piは円周率とする.
(1) x>0における曲線yの最大値および最小値を求めよ.
(2) V_kkを用いて表せ.
(3) \dfrac{V_{k+1}}{V_k}を求めよ.
(4) {\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}}V_kを求めよ.

解答

最後にガウス積分を回転体の体積を利用して評価する問題です。

8.C (東京工業大)
a>0とする.曲線y=e^{-x^2}x軸,y軸,および直線x=aで囲まれた図形を,y軸の周りに1回転してできる回転体をAとする.
(1) Aの体積Vを求めよ.
(2) 点(t,0)~(-a \leqq t \leqq a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき,不等式S(t) \leqq {\displaystyle\int_{-a}^{a}e^{-(s^2+t^2)}ds}を示せ.
(3) 不等式\sqrt{\pi(1-e^{-a^2})} \leqq {\displaystyle\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx}を示せ.

解答

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