回転体の体積２

2017年12月17日2019年2月14日

次は広義積分の問題です。

１．B (愛知教育大)
$a$ を正の定数とする．関数 $y=\dfrac{1}{x^a}$ のグラフを考える．このグラフと $x$ 軸との間の区間 $1 \leqq x \leqq t$ の部分の面積を $S(t)$ とし，このグラフを $x$ 軸の周りに回転して得られる図形の区間 $1 \leqq x \leqq t$ の部分の体積を $V(t)$ とする．
(1) $S(t),~V(t)$ を $t$ の関数として表せ．
(2) $t \rightarrow \infty$ のとき $S(t)$ が発散し $V(t)$ が収束するという $a$ の範囲を求めよ．

→解答

２．B (神戸大)
$xy$ 平面上の2つの曲線 $C_1:y=e^{x^2}~(x \geqq 0),~C_2:y=-\dfrac{2e}{x}+a~(x>0)$ について，次の各問いに答えよ．ここで， $e$ は定数 $:{\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}$ であり， $a$ は実数とする．
(1) $C_1$ と $C_2$ が接するような $a$ の値を求めよ．
(2) $C_1$ と $C_2$ が接しているとき， $C_1,~C_2,~y$ 軸および直線 $y=-b~(b>0)$ で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V(b)$ とする． ${\displaystyle\lim_{b \to \infty}}V(b)$ の値を求めよ．