回転体の体積2

2019年2月14日

次は広義積分の問題です。

1.B (愛知教育大)
aを正の定数とする.関数y=\dfrac{1}{x^a}のグラフを考える.このグラフとx軸との間の区間1 \leqq x \leqq tの部分の面積をS(t)とし,このグラフをx軸の周りに回転して得られる図形の区間1 \leqq x \leqq tの部分の体積をV(t)とする.
(1) S(t),~V(t)tの関数として表せ.
(2) t \rightarrow \inftyのときS(t)が発散しV(t)が収束するというaの範囲を求めよ.

解答

2.B (神戸大)
xy平面上の2つの曲線C_1:y=e^{x^2}~(x \geqq 0),~C_2:y=-\dfrac{2e}{x}+a~(x>0)について,次の各問いに答えよ.ここで,eは定数:{\displaystyle\lim_{h \to 0}}(1+h)^{\frac{1}{h}}であり,aは実数とする.
(1) C_1C_2が接するようなaの値を求めよ.
(2) C_1C_2が接しているとき,C_1,~C_2,~y軸および直線y=-b~(b>0)で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV(b)とする.{\displaystyle\lim_{b \to \infty}}V(b)の値を求めよ.

解答

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