回転体の体積３

2017年12月18日2019年2月18日

次は複数の曲線に囲まれた部分の回転体の体積です。

１．A (東京商船大)
(1) 曲線 $y=\log x$ と原点からこの曲線に引いた接線および $x$ 軸とで囲まれた部分を図示せよ．
(2) (1)の部分を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(3) (1)の部分を $y$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

→解答

２．B ((1) 産業医大　(2) 杏林大)
(1) 区間 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において，2つの曲線 $y=\sin x,~y=\cos x$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(2) 曲線 $y=\sin x~(0 \leqq x \leqq 2\pi)$ と，これを $x$ 軸の負の方向に $\dfrac{\pi}{3}$ だけ平行移動した曲線とで囲まれた部分を $K$ とする． $K$ を $x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ．

→解答

３．B (京都大)
2つの関数 $y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)$ と $y=\sin 2x$ のグラフの $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分で囲まれる領域を， $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

→解答

４．C (名古屋工業大)
だ円 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1$ を原点を中心として $\dfrac{\pi}{4}$ だけ $xy$ 平面において回転してできるだ円で囲まれる部分を $E$ とする． $E$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体(すなわち， $E$ が通過する部分)の体積を求めよ．