回転体の体積4

2019年2月18日

次は球がらみの問題です。球は基本的に円の回転体とみるのが定石です。

1.B (京都府立医大)
1辺の長さが1である立方体をCとし,Cの頂点の1つをAとする.Aを中心とする半径rの球をDとし,CDの共通部分の体積をV(r)とする.
(1) V(r)rを用いて表せ.ただし,0<r \leqq \sqrt{2}とする.
(2) \dfrac{V(r)}{r^2}~(0<r \leqq \sqrt{2})が最大となるrの値を求めよ.

解答

2.C (東京大)
正四面体Tと半径1の球面Sとがあって,Tの6つの辺がすべてSに接しているという.Tの1辺の長さを求めよ.次にTの外側にあってSの内側にある部分の体積を求めよ.

解答

3.C (東京大)
正四角錐Vに対し,その底面上に中心をもち,そのすべての辺と接する球がある.底面の1辺の長さをaとするとき,次の量を求めよ.
(1) Vの高さ
(2) 球と四角すいVとの共通部分の体積
ただし,正四角錐とは,正方形を底面とし,その各辺を底辺とする4つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれる図形とする.

解答

4.C (東京工業大)
0<r<1とする.空間において,点(0,0,0)を中心とする半径rの球と点(1,0,0)を中心とする半径\sqrt{1-r^2}の球との共通部分の体積をV(r)とする.
(1) V(r)を求めよ.
(2) r0<r<1の範囲を動くとき,V(r)を最大にするrの値およびV(r)の最大値を求めよ.

解答

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