回転体の体積４

2017年12月18日2019年2月18日

次は球がらみの問題です。球は基本的に円の回転体とみるのが定石です。

１．B (京都府立医大)
1辺の長さが1である立方体を $C$ とし， $C$ の頂点の1つをAとする．Aを中心とする半径 $r$ の球を $D$ とし， $C$ と $D$ の共通部分の体積を $V(r)$ とする．
(1) $V(r)$ を $r$ を用いて表せ．ただし， $0<r \leqq \sqrt{2}$ とする．
(2) $\dfrac{V(r)}{r^2}~(0<r \leqq \sqrt{2})$ が最大となる $r$ の値を求めよ．

→解答

２．C (東京大)
正四面体 $T$ と半径1の球面 $S$ とがあって， $T$ の6つの辺がすべて $S$ に接しているという． $T$ の1辺の長さを求めよ．次に $T$ の外側にあって $S$ の内側にある部分の体積を求めよ．

→解答

３．C (東京大)
正四角錐 $V$ に対し，その底面上に中心をもち，そのすべての辺と接する球がある．底面の1辺の長さを $a$ とするとき，次の量を求めよ．
(1) $V$ の高さ
(2) 球と四角すい $V$ との共通部分の体積
ただし，正四角錐とは，正方形を底面とし，その各辺を底辺とする4つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれる図形とする．

→解答

４．C (東京工業大)
$0<r<1$ とする．空間において，点 $(0,0,0)$ を中心とする半径 $r$ の球と点 $(1,0,0)$ を中心とする半径 $\sqrt{1-r^2}$ の球との共通部分の体積を $V(r)$ とする．
(1) $V(r)$ を求めよ．
(2) $r$ が $0<r<1$ の範囲を動くとき， $V(r)$ を最大にする $r$ の値および $V(r)$ の最大値を求めよ．