回転体の体積5

2019年2月18日

次は円の回転体の問題です。1はパップス・ギュルダンの定理というものが使えます。大学入試で使ってよいのかダメなのかという議論もありますが、数学的に間違っていなければ何でも使ってよいと思います。間違っていないものを×にするのは採点者としてもできません。社会人が受験することも考えればやはり×にはできません。ロピタルの定理なども使えない状況で間違って使うから×になるだけに過ぎません。

1.B
0<r<bとする.円x^2+(y-b)^2=r^2x軸の周りに1回転して得られる立体の体積Vを求めよ.

解答

次の2題はパップス・ギュルダン封じです。

2.B (横浜国立大)
連立不等式\left\{\begin{array}{l} x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2 \leqq 1\\ y \geqq 0 \end{array}\right.の表す図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ.

解答

3.B (早稲田大)
xy平面上に2点A(-1,0), B(1,0)をとる.\dfrac{\pi}{4} \leqq \angle\mbox{APB} \leqq \piをみたす平面上の点Pの全体と点A, Bからなる図形をFとする.
(1) Fを図示せよ.
(2) Fx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ.

解答

4.B (上智大)
長さ4の線分が第1象限内にあり,その両端はそれぞれx軸とy軸上にあるものとする.この線分を含む直線を回転軸として,原点に中心をもつ半径1の円を回転させた立体の体積をVとする.Vを最大にするような線分の位置とそのときのVの値を求めよ.

解答

5.B (静岡大)
連立不等式x^2+y^2 \leqq 1,~x \geqq 0,~y \geqq 0の表す領域をD,原点を通る傾き\tan\theta~\left(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)の直線をlとする.Dlの周りに1回転させてできる回転体の体積をVとするとき,
(1) -\dfrac{\pi}{2}<\theta<0のとき,V\thetaを用いて表せ.
(2) -\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}のとき,Vの最大値,最小値を求めよ.

解答

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