回転体の体積５

2017年12月18日2019年2月18日

次は円の回転体の問題です。１はパップス・ギュルダンの定理というものが使えます。大学入試で使ってよいのかダメなのかという議論もありますが、数学的に間違っていなければ何でも使ってよいと思います。間違っていないものを×にするのは採点者としてもできません。社会人が受験することも考えればやはり×にはできません。ロピタルの定理なども使えない状況で間違って使うから×になるだけに過ぎません。

１．B
$0<r<b$ とする．円 $x^2+(y-b)^2=r^2$ を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積 $V$ を求めよ．

→解答

次の2題はパップス・ギュルダン封じです。

２．B (横浜国立大)
連立不等式 $\left\{\begin{array}{l} x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2 \leqq 1\\ y \geqq 0 \end{array}\right.$ の表す図形を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ．

→解答

３．B (早稲田大)
$xy$ 平面上に2点A $(-1,0)$ , B $(1,0)$ をとる． $\dfrac{\pi}{4} \leqq \angle\mbox{APB} \leqq \pi$ をみたす平面上の点Pの全体と点A, Bからなる図形を $F$ とする．
(1) $F$ を図示せよ．
(2) $F$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

→解答

４．B (上智大)
長さ4の線分が第1象限内にあり，その両端はそれぞれ $x$ 軸と $y$ 軸上にあるものとする．この線分を含む直線を回転軸として，原点に中心をもつ半径1の円を回転させた立体の体積を $V$ とする． $V$ を最大にするような線分の位置とそのときの $V$ の値を求めよ．

→解答

５．B (静岡大)
連立不等式 $x^2+y^2 \leqq 1,~x \geqq 0,~y \geqq 0$ の表す領域を $D$ ，原点を通る傾き $\tan\theta~\left(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ の直線を $l$ とする． $D$ を $l$ の周りに1回転させてできる回転体の体積を $V$ とするとき，
(1) $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<0$ のとき， $V$ を $\theta$ を用いて表せ．
(2) $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき， $V$ の最大値，最小値を求めよ．