回転体の体積６

2017年12月19日2019年2月18日

５の続きです。球がらみの良さげな問題を2つ。

１．C (同志社大)
$\theta_1,~\theta_2,~a,~b$ は $0<\theta_1<\theta_2<\dfrac{\pi}{2},~0<a<b$ を満たす実数とする．連立不等式 $a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,~0<y<(\tan\theta_1)x$ の表す領域を $D$ とし，連立不等式 $a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,~(\tan\theta_1)x \leqq y \leqq (\tan\theta_2)x$ の表す領域を $E$ とする．
(1) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ．
(2) $E$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $W$ を求めよ．
(3) 極限値 ${\displaystyle\lim_{\theta_2-\theta_1 \to 0}}\dfrac{W}{\theta_2-\theta_1}$ を求めよ．

→解答

２．C (大阪大)
半径1の2つの球 $S_1$ と $S_2$ が1点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径をもつ $n$ 個 $~(n \geqq 3)$ の球 $T_1,~T_2,~\cdots,~T_n$ があり，次の条件(A), (B)を満たす．
(A) $T_i$ は $S_1,~S_2$ にそれぞれ1点で接している $(i=1,~2,~\cdots,~n)$ ．
(B) $T_i$ は $T_{i+1}$ に1点で接しており $(i=1,~2,~\cdots,~n-1)$ ，そして $T_n$ は $T_1$ に1点で接している．
(1) $T_1,~T_2,~\cdots,~T_n$ の共通の半径 $r_n$ を求めよ．
(2) $S_1$ と $S_2$ の中心を結ぶ直線の周りに $T_1$ を回転してできる回転体の体積を $V_n$ とし， $T_1,~T_2,~\cdots,~T_n$ の体積の和を $W_n$ とするとき，極限 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{W_n}{V_n}$ を求めよ．