回転体の体積6

2019年2月18日

5の続きです。球がらみの良さげな問題を2つ。

1.C (同志社大)
\theta_1,~\theta_2,~a,~b0<\theta_1<\theta_2<\dfrac{\pi}{2},~0<a<bを満たす実数とする.連立不等式a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,~0<y<(\tan\theta_1)xの表す領域をDとし,連立不等式a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,~(\tan\theta_1)x \leqq y \leqq (\tan\theta_2)xの表す領域をEとする.
(1) Dx軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ.
(2) Ex軸の周りに1回転してできる回転体の体積Wを求めよ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{\theta_2-\theta_1 \to 0}}\dfrac{W}{\theta_2-\theta_1}を求めよ.

解答

2.C (大阪大)
半径1の2つの球S_1S_2が1点で接している.互いに重なる部分のない等しい半径をもつn~(n \geqq 3)の球T_1,~T_2,~\cdots,~T_nがあり,次の条件(A), (B)を満たす.
(A) T_iS_1,~S_2にそれぞれ1点で接している (i=1,~2,~\cdots,~n)
(B) T_iT_{i+1}に1点で接しており (i=1,~2,~\cdots,~n-1),そしてT_nT_1に1点で接している.
(1) T_1,~T_2,~\cdots,~T_nの共通の半径r_nを求めよ.
(2) S_1S_2の中心を結ぶ直線の周りにT_1を回転してできる回転体の体積をV_nとし,T_1,~T_2,~\cdots,~T_nの体積の和をW_nとするとき,極限{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{W_n}{V_n}を求めよ.

解答

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