回転体の体積7

2019年2月18日

次はバームクーヘン型積分の問題です。イメージはその名の通りバームクーヘンや大根のかつらむきです。まずは典型的な問題をいくつか。

1.B (東京大)
f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2とする.y=f(x)のグラフの0 \leqq x \leqq 1の部分とx軸とで囲まれた図形をy軸のまわりに回転させてできる立体の体積は
V=2\pi{\displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)dx}
で与えられることを示し,この値を求めよ.

解答

2.B ((1) 武蔵工業大 (2) 工学院大)
(1) 曲線y=\sin x~(0 \leqq x \leqq \pi)x軸で囲まれた部分を,y軸のまわりに回転したとき得られる立体の体積を求めよ.
(2) 曲線y=k\cos x~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)と両軸によって囲まれる図形をx軸およびy軸のまわりに回転してできる2つの立体の体積が等しくなるように正の定数kの値を求めよ.

解答

3.B (早稲田大)
放物線y=-x^2+2x+2x軸によって囲まれた部分をDとする.
(1) Dx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
(2) Dy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.

解答

y軸回転だからといって何でもかんでもバウムクーヘン型積分でやるのは感心しません。状況によって使い分けて下さい。次の問題がよい教訓となります。

4.C (東京医科歯科大)
座標平面上の曲線C:y=2x^2-x^4~(y \geqq 0)および直線l:y=a (a0<a<1を満たす定数)を考える.このとき,
(1) 曲線Cと直線lの交点をすべて求めよ.
(2) 曲線Cと直線lで囲まれる図形のうち,y \geqq aの部分を\mbox{K}_1y \leqq aの部分を\mbox{K}_2とする.このとき,\mbox{K}_1,~\mbox{K}_2y軸の周りに回転してできる立体の体積V_1,~V_2をそれぞれ求めよ.
(3)V_1=V_2となるようなaの値を求めよ.

解答

最後に2題。

5.B (防衛医大)
曲線C:y=e^xと2直線x=t,~x=t-1~(0 \leqq t \leqq 1)およびx軸とで囲まれた図形を,y軸のまわりに回転してできる回転体の体積V(t)を求めよ.

解答

6.B (同志社大)
媒介変数tを用いてx=t^2,~y=-t^3+4t^2-5t+3~(0 \leqq t \leqq 2)で表されるxy平面上の曲線Cについて,
(1) 接線の傾きが0となる曲線C上の点の座標を求めよ.また,曲線Cの概形を描け.
(2) 曲線Cx軸,y軸および直線x=4で囲まれた図形をDとする.Dの面積Sを求めよ.
(3) Dy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ.

解答

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