回転体の体積8

2019年2月18日

斜軸回転の回転体の体積の問題です。斜軸回転の回転体の体積を求める方法は斜軸をX軸などとして置換して解く方法と傘型積分を利用する方法、複素数平面を利用して全体を回転させて斜軸をx軸やy軸にもっていく方法の3つあります。問題によってうまく使い分けて下さい。傘型が一番簡単だと思いますが斜軸をX軸とするような誘導や回転させる誘導がよくついているので3つとも理解しておく必要があります。まずは基本問題から。

1.B (慶応大)
xy平面において,放物線y=x^2y=xによって囲まれた図形を直線y=xの周りに回転させてできる回転体の体積を求めよ.

解答

2.B (信州大)
半直線l:y=x~(x \geqq 0),放物線C:y=\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}を考える.
(1) 放物線Cと半直線lが接する点の座標を求めよ.
(2) t \geqq 0とする.原点からの距離がtであるl上の点を\mbox{A}(t)とするとき,\mbox{A}(t)を通りlに直交する直線と,放物線Cの共有点の座標をtを用いて表せ.
(3) 放物線Cと半直線lおよびy軸とで囲まれた図形を,半直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.

解答

次は軸を新しい軸を設定したときにはみ出す場合です。

3.B
xy平面において,放物線y=x^2-2xy=xによって囲まれた図形を直線y=xの周りに回転させてできる回転体の体積を求めよ.

解答

次は位置関係が多少異なりますがやることは同じです。

4.B (早稲田大)
aを正の定数とする.xy-座標平面において,曲線\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}と,直線x+y=aとで囲まれた部分をDとおく.
(1) Dの概形をかき,その面積を求めよ.
(2) 直線x+y=aを軸として,Dを1回転してできる図形の体積を求めよ.

解答

5.B (東京工業大)
点P(t,s)s=\sqrt{2}t^2-2tを満たしながらxy平面上を動くときに,点Pを原点を中心として45°回転した点Qの軌跡として得られる曲線をCとする.さらに,曲線Cx軸で囲まれた図形をDとする.
(1) Q(x,y)の座標を,tを用いて表せ.
(2) 直線y=aと曲線Cがただ1つの共有点をもつような定数aの値を求めよ.
(3) 図形Dy軸の周りに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ.

解答

最後に斜軸がy=x以外の場合について。

6.B ((1) 大阪教育大 (2) 大分大)
(1) 放物線y=x^2-2xと直線y=\dfrac{1}{2}xとで囲まれる部分を,この直線を軸として1回転して得られる立体の体積を求めよ.
(2) aは正の定数とする.放物線y=ax^2と直線y=axで囲まれる図形を,直線y=axの周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ.

解答

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