回転体の体積9

2019年2月18日

次は媒介変数表示や極方程式で表された曲線で囲まれた部分の回転体の体積です。まずはサイクロイドから。

1.A (日本女子大)
サイクロイドx=\theta-\sin\theta,~y=1-\cos\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)x軸の周りに1回転して得られる立体の体積を求めよ.

解答

次はトロコイドです。

2.C (お茶の水女子大)
半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき,円板上の点Pの描く曲線Cを考える.円板の中心の最初の位置を(0,2),点Pの最初の位置を(0,1)とする.
(1) 円板がその中心の周りに回転した角を\thetaとするとき,Pの座標は(2\theta-\sin\theta,2-\cos\theta)で与えられることを示せ.
(2) 点P(2\theta-\sin\theta,2-\cos\theta)~(0<\theta<2\pi)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする.線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ.ここで,Pにおいて接線に直交する直線を法線という.
(3) 曲線Cx軸,2直線x=0,~x=4\piで囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ.

解答

次はカージオイド。

3.B (信州大)
曲線\left\{\begin{array}{l} x=(1+\cos\theta)\cos\theta\\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta \end{array}\right.~(0 \leqq \theta<2\pi)で囲まれる図形(右図)を,x軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ.

解答

次はアステロイドです。

4.B (宇都宮大)
(1) 次式が成り立つことを証明せよ.ただし,nは2以上の整数とする.
{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\dfrac{n-1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}xdx}
(2) x=\cos^3 t,~y=\sin^3 t~(0 \leqq t \leqq 2\pi)で表される曲線をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ.

解答

最後に極方程式で表された曲線で囲まれた部分の回転体の体積です。

5.B (京都大)
xy平面上で原点を極,x軸の正の部分を始線とする極座標に関して,極方程式r=2+\cos\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)により表される曲線をCとする.Cx軸とで囲まれた図形をx軸の周りに1回転して得られる立体の体積を求めよ.

解答

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