回転体の体積10

2019年2月19日

次は結果的に回転体の体積を求めることになる問題です。まずは結果的にインボリュートの回転体を求めることになる問題から。

1.C (東京工業大)
(1) m \geqq 0,~n \geqq 1である整数m,~nに対し
a_{m,n}={\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^m\cos n\theta d\theta,~b_{m,n}=\int_{0}^{\pi}\theta^m\sin n\theta d\theta}
とおくとき,次の式を示せ.
a_{m+1,n}=-\dfrac{m+1}{n}b_{m,n},~b_{m+1,n}=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi^{m+1}}{n}+\dfrac{m+1}{n}a_{m,n}
(2) 半径1の球面上の定点を端点とする長さ\piのひもを考える.このひもが球の外側の空間を動くとき,ひもの通過しうる領域の体積を求めよ.

解答

次はコンコイドという曲線の回転体の問題です。

2.C (東京大)
座標空間内を,長さ2の線分ABが次の2条件(a), (b)をみたしながら動く.
(a) 点Aは平面z=0上にある.
(b) 点C(0,0,1)が線分AB上にある.
このとき,線分ABが通過することのできる範囲をKとする.Kと不等式z \geqq 1の表す範囲との共通部分の体積を求めよ.

解答

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