空間内の回転体１

2017年12月20日2019年2月20日

これまでは平面内の平面図形を回転させてきましたが、これより空間内の図形を回転させる問題です。まずは空間内の直線を回転させる問題から。

１．B (早稲田大)
2点A $(1,0,0)$ , B $(0,1,1)$ を結ぶ線分ABを $z$ 軸のまわりに回転して得られる曲面と，平面 $z=0$ および平面 $z=1$ で囲まれる立体の体積を求めよ．

回転軸とねじれの位置にある直線を回転させると平行移動して直交しないような場合は直線の軌跡は一葉双曲面という双曲線を回転させた図形になります。次はそれがよくわかる問題です。

２．C (早稲田大)
$xyz$ 空間において，2点P $(1,0,1)$ , Q $(-1,1,0)$ を考える．線分PQを $x$ 軸の周りに1回転して得られる曲面を $S$ とする．
(1) 曲面 $S$ と，2つの平面 $x=1$ および $x=-1$ で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2) (1)の立体の平面 $y=0$ による切り口を，平面 $y=0$ 上において図示せよ．
(3) 定積分 ${\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{t^2+1}dt}$ の値を $t=\dfrac{e^s-e^{-s}}{2}$ と置換することによって求めよ．これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．

→解答

アレンジ問題もたくさん出ています。

３．C (早稲田大)
座標空間において，動点Pは平面 $z=0$ 上で中心O $(0,0,0)$ ，半径 $a$ の円周上を回転し，また，動点Qは平面 $z=1$ 上で中心O’ $(0,0,1)$ ，半径 $b$ の円周上を回転している．ただし， $a>b>0$ とし，動径OP, O’Qは $z$ 軸の上方から見て一定の角 $\alpha~(0<\alpha<\pi)$ を保っているとする．このとき，線分PQの軌跡と2つの平面 $z=0, z=1$ で囲まれる立体を $K$ とする．
(1) 平面 $z=t~(0 \leqq t \leqq 1)$ による $K$ の切り口 $S(t)$ はどのような図形か．
(2) $K$ の体積を求めよ．
(3) $S(t)$ の面積が最小となる $t$ の値を求めよ．

→解答

４．B (奈良教育大)
$xyz$ 空間に一辺の長さが1の立方体DEFG-OABCがある．2つの動点P, QはそれぞれO, Eを同時に出発しPは正方形OABC上をこの順に一周し，QはPと同じ速さで正方形EFGD上をこの順に一周する．このとき線分PQが通過してできる曲面と正方形OABC，正方形EFGDによって囲まれる立体を $V$ とする．
(1) $z=u~(0 \leqq u \leqq 1)$ で切った $V$ に切り口はどんな図形か．またその切り口の面積を求めよ．
(2) $V$ の体積を求めよ．

→解答

５．B (京都大)
座標空間において，平面 $z=1$ 上に1辺の長さが1の正三角形ABCがある．点A, B, Cから平面 $z=0$ に下ろした垂線の足をそれぞれD, E, Fとする．動点PはAからBの方向へ出発し，一定の速さで $\bigtriangleup$ ABCの周を1周する．動点Qは同時にEからFの方向へ出発し，Pと同じ一定の速さで $\bigtriangleup$ DEFの周を1周する．線分PQが通過してできる曲面と $\bigtriangleup$ ABC, $\bigtriangleup$ DEFによって囲まれる立体を $V$ とする．
(1) 平面 $z=a~(0 \leqq a \leqq 1)$ による $V$ の切り口はどのような図形か．
(2) $V$ の体積を求めよ．