いろいろな数列の和

2017年12月25日

次は符号の異なる共通項が現れるような差を作り消去して和を求めるようなパターンのいろいろな数列の和についての問題です。まずは\sqrt{}を含む分数式から。

1.(明治大)
{\displaystyle\sum_{k=1}^{400}}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}を求めよ.

次は階乗を含むものです。

2.(明治薬科大)
(1) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k! \cdot kを求めよ.
(2) S_n=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\cdots\cdots+\dfrac{n}{(n+1)!}を求めよ.

3.(芝浦工業大)
次の値を求めよ.ただし,k!=1\cdot2\cdot3\cdot\cdots\cdot k,~0!=1とする.
(1) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}(k-1)\cdot(k-1)!
(2) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k^2\cdot(k-1)!

4.(千葉大)
整数p,~q~(p \geqq q \geqq 0)に対して二項係数を_p\mbox{C}_q=\dfrac{p!}{q!(p-q)!}と定める.なお0!=1とする.
(1) n,~kが0以上の整数のとき,_{n+k+1}\mbox{C}_{k+1} \times \left(\dfrac{1}{_{n+k}\mbox{C}_k}-\dfrac{1}{_{n+k+1}\mbox{C}_k}\right)を計算し,nによらない値になることを示せ.
(2) mが3以上の整数のとき,和\dfrac{1}{_3\mbox{C}_3}+\dfrac{1}{_4\mbox{C}_3}+\dfrac{1}{_5\mbox{C}_3}+\cdots+\dfrac{1}{_m\mbox{C}_3}を求めよ.

次は対数を含むものです。対数の計算規則を考えれば簡単です。

5.(中央大)
(1) 数列\{a_k\}の第k項がa_k=\log_{10}\dfrac{k+2}{k}であるとき,初項から第n項までの和S_nを求めよ.
(2) (1)のS_nが初めて2を超えるときのnの値を求めよ.

最後に三角関数を含むものです。これもよく出題されます。数列の極限の問題でもよく出てきます。

6.(中央大)
(1) 加法定理を用いて,次の積を差に変える公式を証明せよ.
2\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)
(2) 積\cos kx\sin\dfrac{x}{2}を差に変える公式を用いて,自然数nに対して,次の等式を証明せよ.ただし,\sin\dfrac{x}{2} \ne 0とする.
\dfrac{1}{2}+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\cos kx=\dfrac{\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x}{2\sin\dfrac{x}{2}}
(3) 次の値を求めよ.ただし,角度はラジアン単位である.
{\displaystyle\sum_{k=1}^{10}}\cos k\dfrac{\pi}{3}

7.(佐賀大)
(1) 等式2\sin k\theta\sin\dfrac{\theta}{2}=\cos\left(k-\dfrac{1}{2}\right)\theta-\cos\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\thetaを示せ.
(2) nが自然数のとき,S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\sin k\thetaを求めよ.

8.(早稲田大)
\left({\displaystyle\sum_{k=1}^{2016}}k\sin\dfrac{(2k-1)\pi}{2016}\right)\sin\dfrac{\pi}{2016}の値を求めよ.

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