空間内の回転体5

2019年2月25日

次は空間内の錐体を回します。まずは三角錐を2題。

1.B (上智大)
xyz空間上の4点O(0,0,0), A(6,0,0), B(0,3,0), C(0,3,3)を頂点とする三角錐OABCを考える.
(1) 0<a<3のとき平面y=aによる三角錐OABCの断面の面積を求めよ.
(2) 三角錐OABCをy軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ.

解答

2.B (岡山大)
座標空間内の4点A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,\sqrt{2}), D(0,-1,\sqrt{2})を頂点とする四面体ABCDを考える.
(1) 点P(0,0,t)を通りz軸に垂直な平面と,辺ACが点Qにおいて交わるとする.Qの座標をtで表せ.
(2) 四面体ABCD (内部を含む)をz軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.

解答

最後に円錐を回します。

3.C (大阪大)
xyz空間内の3点O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0)を頂点とする三角形OABをx軸の周りに1回転させてできる円錐をVとする.円錐Vy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.

解答

4.C (東京大)
aを正の実数,\theta0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}を満たす実数とする.xyz空間において,点(a,0,0)と点(a+\cos\theta,0,\sin\theta)を結ぶ線分を,x軸のまわりに1回転させてできる曲面をSとする.さらに,Sy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする.
(1) Va\thetaを用いて表せ.
(2) a=4とする.V\thetaの関数と考えて,Vの最大値を求めよ.

解答

5.C (東京電機大)
半径r,高さh~(h>r)の直円すいを,頂点を固定して平面上を図のように滑ることなく転がすとき,
(1) 円すいの中心軸が1周してもとの位置にもどるとき,円すいは中心軸の周りを何回転するか.
(2) (1)において円すいが描く立体の体積を求めよ.

解答

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