空間内の回転体５

2017年12月20日2019年2月25日

次は空間内の錐体を回します。まずは三角錐を2題。

１．B (上智大)
$xyz$ 空間上の4点O $(0,0,0)$ , A $(6,0,0)$ , B $(0,3,0)$ , C $(0,3,3)$ を頂点とする三角錐OABCを考える．
(1) $0<a<3$ のとき平面 $y=a$ による三角錐OABCの断面の面積を求めよ．
(2) 三角錐OABCを $y$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ．

→解答

２．B (岡山大)
座標空間内の4点A $(1,0,0)$ , B $(-1,0,0)$ , C $(0,1,\sqrt{2})$ , D $(0,-1,\sqrt{2})$ を頂点とする四面体ABCDを考える．
(1) 点P $(0,0,t)$ を通り $z$ 軸に垂直な平面と，辺ACが点Qにおいて交わるとする．Qの座標を $t$ で表せ．
(2) 四面体ABCD (内部を含む)を $z$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

→解答

最後に円錐を回します。

３．C (大阪大)
$xyz$ 空間内の3点O $(0,0,0)$ , A $(1,0,0)$ , B $(1,1,0)$ を頂点とする三角形OABを $x$ 軸の周りに1回転させてできる円錐を $V$ とする．円錐 $V$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

→解答

４．C (東京大)
$a$ を正の実数， $\theta$ を $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ を満たす実数とする． $xyz$ 空間において，点 $(a,0,0)$ と点 $(a+\cos\theta,0,\sin\theta)$ を結ぶ線分を， $x$ 軸のまわりに1回転させてできる曲面を $S$ とする．さらに， $S$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V$ とする．
(1) $V$ を $a$ と $\theta$ を用いて表せ．
(2) $a=4$ とする． $V$ を $\theta$ の関数と考えて， $V$ の最大値を求めよ．

→解答

５．C (東京電機大)
半径 $r$ ，高さ $h~(h>r)$ の直円すいを，頂点を固定して平面上を図のように滑ることなく転がすとき，
(1) 円すいの中心軸が1周してもとの位置にもどるとき，円すいは中心軸の周りを何回転するか．
(2) (1)において円すいが描く立体の体積を求めよ．

→解答

コメント一覧

野澤京子より:
2019年2月22日 12:26
空間内の回転体５の問い4の答えが欲しいです。
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- 山彦のフドウより:
  2019年2月22日 21:44
  本日作成いたしました。明日にはアップできると思います。
  返信
urama000より:
2019年12月9日 00:38
１(1)の解答ですが、三角錐OABCの断面の面積なので2a(3-a)になると思います。
細かいところで申し訳ありませんm(_ _)m
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