空間内の回転体6

2019年2月21日

次もよくある問題です。正多面体を回す問題です。

1.C (京都大)
座標空間内で,O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1)を頂点にもつ立方体を考える.
(1) 頂点Aから対角線OFに下ろした垂線の長さを求めよ.
(2) この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ.

解答

次は1ができれば(2)は1より簡単です。問題は(1)です正多面体の双対の関係性を考えれば(1)も簡単にできます。

2.C (東京大)
(1) 正八面体の1つの面を下にして水平な台の上に置く.この八面体を真上から見た図(平面図)をかけ.
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり,それぞれの面の重心をG_1, G_2とする.G_1, G_2を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ.ただし,八面体は内部も含むものとし,各辺の長さは1とする.

解答

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