空間内の回転体7

2019年2月21日

最後に空間内の曲面の回転体の問題をいくつか。

1.C (名古屋大)
空間内にある半径1の球 (内部を含む)をBとする.直線lBが交わっており,その交わりは長さ\sqrt{3}の線分である.
(1) Bの中心とlとの距離を求めよ.
(2) lの周りにBを1回転してできる立体の体積を求めよ.

解答

2.D (東京大)
aを正の実数とし,空間内の2つの円板
D_1=\{(x,y,z)~|~x^2+y^2 \leqq 1,~z=a\}
D_2=\{(x,y,z)~|~x^2+y^2 \leqq 1,~z=-a\}
を考える.D_1y軸の周りに180°回転してD_2に重ねる.ただし,回転はz軸の正の部分をx軸の正の方向に傾ける向きとする.この回転の間にD_1が通る部分をEとする.Eの体積をV(a)とし,E\{(x,y,z)~|~x \geqq 0\}との共通部分の体積をW(a)とする.
(1) W(a)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{a \to \infty}}V(a)を求めよ.

解答

3.B (東北大)
xyz空間内に2点P(u,u,0), Q(u,0,\sqrt{1-u^2})を考える.uが0から1まで動くとき,線分PQが通過してできる曲面をSとする.
(1) 点(u,0,0)~(0 \leqq u \leqq 1)と線分PQの距離を求めよ.
(2) 曲面Sx軸の周りに1回転させて得られる立体の体積を求めよ.

解答

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