弧長1

2017年12月25日

曲線の長さ (弧長)を求める問題です。まずは媒介変数表示された曲線の長さを求める問題から。まずはサイクロイドです。

1.(九州大)
中心(0,a),半径aの円を,xy平面上のx軸の上をxの正の方向に滑らないように転がす.このとき円上の定点Pが原点(0,0)を出発するとする.
(1) 円が角tだけ回転したとき,点Pの座標を求めよ.
(2) (1)において,tが0から2\piまで動いて円が1回転したときの点Pの描く曲線の長さを求めよ.

次に内サイクロイドの問題です。

2.(北海道大)
xy平面の原点Oを中心とする半径4の円Eがある.半径1の円Cが,内部からEに接しながらすべることなく転がって反時計回りに1周する.このとき,円Cの周上に固定された点Pの軌跡を考える.ただし,初めに点Pは点(4,0)の位置にあるものとする.
(1) 図のように,x軸と円Cのなす角度が\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)となったときの点Pの座標(x,y)を,\thetaを用いて表せ.
(2) 点Pの軌跡の長さを求めよ.

3.(大阪大)
座標平面上の半径r~(0<r<1)の円板Dが,原点を中心とする半径1の円に内接しながらすべらずに転がるとき,D上の定点Pの動きを調べる.ただし,Dの中心は原点のまわりを反時計まわりに進むものとする.初めにDの中心と点Pは,それぞれ(1-r,0),~(1-r+a,0)の位置にあるものとする.(0<a \leqq r)
(1) Dの長さが\thetaだけ転がった位置にきたとき,点Pの座標(x,y)\thetaを用いて表せ.
(2) Dが転がり続けるとき,点Pがいつか最初の位置に戻るためのrの条件を求めよ.
(3) r=\dfrac{1}{2}のとき,点Pの軌跡を求め図示せよ.

次は内サイクロイドなのですが、半径の比が1:2のときは少し変わったことが起こります。考えれば当たり前のことですが、少し意地悪な問題です。

4.(早稲田大)
xy平面上の円C:x^2+y^2=1の内側を半径\dfrac{1}{2}の円DCに接しながらすべらすに転がる.時刻tにおいてDは点(\cos t,\sin t)Cに接しているとする.Dに周上の点Pの軌跡について考える.ある時刻t_0において点Pが点\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)にあり,Dに中心が第2象限にあるとする.
(1) 時刻t_0におけるDの中心の座標を求めよ.
(2) 第1象限において,点PがC上にあるときのPの座標を求めよ.
(3) 点Pの軌跡をxy平面上に図示せよ.

最後に外サイクロイドです。

5.(東京工業大)
xy平面で原点を中心とする半径2の円をA,点(3,0)を中心とする半径1の円をBとする.BAの周上を,反時計まわりに,すべらずにころがって,もとの位置にもどるとき,初めに(2,0)にあったB上の点Pの描く曲線をCとする.
(1) C上の点でx座標が最大となる点の座標を求めよ.
(2) 曲線Cの長さを求めよ.

6.(横浜国立大)
xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cがある.半径\dfrac{1}{n} (nは自然数)の円C_nが,Cに外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき,C_n上の点Pの軌跡を考える.ただし,最初Pは点A(1,0)に一致していたとする.
(1) Oを端点としC_nの中心を通る半直線がx軸の正の向きとなす角が\thetaとなるときのPの座標をn\thetaで表せ.
(2) Pが初めてAに戻るまでのPの軌跡の長さl_nを求めよ.
(3) (2)で求めたl_nに対し,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}l_nを求めよ.

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