弧長１

2017年12月21日2017年12月25日

曲線の長さ (弧長)を求める問題です。まずは媒介変数表示された曲線の長さを求める問題から。まずはサイクロイドです。

１．(九州大)
中心 $(0,a)$ ，半径 $a$ の円を， $xy$ 平面上の $x$ 軸の上を $x$ の正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点Pが原点 $(0,0)$ を出発するとする．
(1) 円が角 $t$ だけ回転したとき，点Pの座標を求めよ．
(2) (1)において， $t$ が0から $2\pi$ まで動いて円が1回転したときの点Pの描く曲線の長さを求めよ．

次に内サイクロイドの問題です。

２．(北海道大)
$xy$ 平面の原点Oを中心とする半径4の円 $E$ がある．半径1の円 $C$ が，内部から $E$ に接しながらすべることなく転がって反時計回りに1周する．このとき，円 $C$ の周上に固定された点Pの軌跡を考える．ただし，初めに点Pは点 $(4,0)$ の位置にあるものとする．
(1) 図のように， $x$ 軸と円 $C$ のなす角度が $\theta~(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ となったときの点Pの座標 $(x,y)$ を， $\theta$ を用いて表せ．
(2) 点Pの軌跡の長さを求めよ．

３．(大阪大)
座標平面上の半径 $r~(0<r<1)$ の円板 $D$ が，原点を中心とする半径1の円に内接しながらすべらずに転がるとき， $D$ 上の定点Pの動きを調べる．ただし， $D$ の中心は原点のまわりを反時計まわりに進むものとする．初めに $D$ の中心と点Pは，それぞれ $(1-r,0),~(1-r+a,0)$ の位置にあるものとする． $(0<a \leqq r)$
(1) $D$ の長さが $\theta$ だけ転がった位置にきたとき，点Pの座標 $(x,y)$ を $\theta$ を用いて表せ．
(2) $D$ が転がり続けるとき，点Pがいつか最初の位置に戻るための $r$ の条件を求めよ．
(3) $r=\dfrac{1}{2}$ のとき，点Pの軌跡を求め図示せよ．

次は内サイクロイドなのですが、半径の比が $1:2$ のときは少し変わったことが起こります。考えれば当たり前のことですが、少し意地悪な問題です。

４．(早稲田大)
$xy$ 平面上の円 $C:x^2+y^2=1$ の内側を半径 $\dfrac{1}{2}$ の円 $D$ が $C$ に接しながらすべらすに転がる．時刻 $t$ において $D$ は点 $(\cos t,\sin t)$ で $C$ に接しているとする． $D$ に周上の点Pの軌跡について考える．ある時刻 $t_0$ において点Pが点 $\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)$ にあり， $D$ に中心が第2象限にあるとする．
(1) 時刻 $t_0$ における $D$ の中心の座標を求めよ．
(2) 第1象限において，点Pが $C$ 上にあるときのPの座標を求めよ．
(3) 点Pの軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ．

最後に外サイクロイドです。

５．(東京工業大)
$xy$ 平面で原点を中心とする半径2の円を $A$ ，点 $(3,0)$ を中心とする半径1の円を $B$ とする． $B$ が $A$ の周上を，反時計まわりに，すべらずにころがって，もとの位置にもどるとき，初めに $(2,0)$ にあった $B$ 上の点Pの描く曲線を $C$ とする．
(1) $C$ 上の点で $x$ 座標が最大となる点の座標を求めよ．
(2) 曲線 $C$ の長さを求めよ．

６．(横浜国立大)
$xy$ 平面上に原点Oを中心とする半径1の円 $C$ がある．半径 $\dfrac{1}{n}$ ( $n$ は自然数)の円 $C_n$ が， $C$ に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき， $C_n$ 上の点Pの軌跡を考える．ただし，最初Pは点A $(1,0)$ に一致していたとする．
(1) Oを端点とし $C_n$ の中心を通る半直線が $x$ 軸の正の向きとなす角が $\theta$ となるときのPの座標を $n$ と $\theta$ で表せ．
(2) Pが初めてAに戻るまでのPの軌跡の長さ $l_n$ を求めよ．
(3) (2)で求めた $l_n$ に対し， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}l_n$ を求めよ．

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