弧長２

次は極方程式で表された曲線の弧長を求める問題です。

１．(熊本大)
平面上の点の直交座標を(x,y)，極座標を(r,\theta)とする．極方程式r=f(\theta)によって表される曲線Cについて，
(1) 曲線上の点(x,y)について，\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2をr=f(\theta),~r=f'(\theta)を用いて表せ．
(2) f(\theta)=\sin^3\dfrac{\theta}{3}のとき，曲線Cの0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\theta}{2}の部分の長さを求めよ．

２．(京都大)
極方程式r=1+\cos\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)で表される曲線の長さを求めよ．

３．(京都大)
(1) x \geqq 0で定義された関数
f(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})
について，導関数f'(x)を求めよ．
(2) 極方程式r=\theta~(\theta \geqq 0)で定義される曲線の，0 \leqq \theta \leqq \piの部分の長さを求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ