弧長2

次は極方程式で表された曲線の弧長を求める問題です。

1.(熊本大)
平面上の点の直交座標を(x,y),極座標を(r,\theta)とする.極方程式r=f(\theta)によって表される曲線Cについて,
(1) 曲線上の点(x,y)について,\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2r=f(\theta),~r=f'(\theta)を用いて表せ.
(2) f(\theta)=\sin^3\dfrac{\theta}{3}のとき,曲線C0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\theta}{2}の部分の長さを求めよ.

2.(京都大)
極方程式r=1+\cos\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)で表される曲線の長さを求めよ.

3.(京都大)
(1) x \geqq 0で定義された関数
f(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})
について,導関数f'(x)を求めよ.
(2) 極方程式r=\theta~(\theta \geqq 0)で定義される曲線の,0 \leqq \theta \leqq \piの部分の長さを求めよ.

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