物理への応用

2017年12月21日

弧長は物理では道のりになります。距離と道のりは同じではないので注意して下さい。この辺りは物理で学習しているはずです。まずは1次元運動から。

１．
数直線上を動く点Pの座標 $x$ が時刻 $t$ の関数として $x=12t-3t^2$ と表されるとき，点Pの時刻 $t=1$ のときの速度は(　　)であり，加速度は $-(~~~~~)$ である．また，点Pは時刻 $t=(~~~~~)$ のときに座標が $x=(~~~~~)$ である点において運動の向きを変えるので，時刻 $t=0$ から $t=5$ までの間に動いた道のりは(　　)である．

次は2次元運動です。

２．(埼玉大)
$xy$ 平面で媒介変数 $t$ を用いた曲線 $\left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{3}t^2-1\\ y=t^3-t \end{array}\right.$ を $-1<t<1$ の範囲で考える．接線の傾きが0となる曲線上の2点の間の曲線に沿った道のりを求めよ．

３．(神戸大)
$a>0$ を定数として，座標平面上で，式 $x(t)=e^{at}\cos t,~y(t)=e^{at}\sin t~(-\infty<x<\infty)$ で定まる曲線を $C_a$ とする．
(1) 位置ベクトル $(x(t),y(t))$ と速度ベクトル $(x'(t),y'(t))$ のなす角 $\theta$ は時刻 $t$ によらず一定であることを示し， $\theta$ と $a$ の関係を求めよ．
(2) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ となる $a$ に対し，曲線 $C_a$ の $0 \leqq t \leqq 2\pi$ に対応する部分の長さを求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ

表面積

弧長３

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