物理への応用

弧長は物理では道のりになります。距離と道のりは同じではないので注意して下さい。この辺りは物理で学習しているはずです。まずは1次元運動から。

1.
数直線上を動く点Pの座標xが時刻tの関数としてx=12t-3t^2と表されるとき,点Pの時刻t=1のときの速度は(  )であり,加速度は-(~~~~~)である.また,点Pは時刻t=(~~~~~)のときに座標がx=(~~~~~)である点において運動の向きを変えるので,時刻t=0からt=5までの間に動いた道のりは(  )である.

次は2次元運動です。

2.(埼玉大)
xy平面で媒介変数tを用いた曲線\left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{3}t^2-1\\ y=t^3-t \end{array}\right.-1<t<1の範囲で考える.接線の傾きが0となる曲線上の2点の間の曲線に沿った道のりを求めよ.

3.(神戸大)
a>0を定数として,座標平面上で,式x(t)=e^{at}\cos t,~y(t)=e^{at}\sin t~(-\infty<x<\infty)で定まる曲線をC_aとする.
(1) 位置ベクトル(x(t),y(t))と速度ベクトル(x'(t),y'(t))のなす角\thetaは時刻tによらず一定であることを示し,\thetaaの関係を求めよ.
(2) \theta=\dfrac{\pi}{3}となるaに対し,曲線C_a0 \leqq t \leqq 2\piに対応する部分の長さを求めよ.

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