水の問題

最後に水の問題です。

1.(東洋大)
xy平面を水平にとり,xz平面において関数z=f(x)
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0~(0 \leqq x \leqq 1)\\ x^2-1~(1 \leqq x \leqq 3) \end{array}\right.
で定義する.曲線z=f(x)z軸の周りに回転してできる容器について考える.ただし,この容器に関する長さの単位はcmである.この容器に毎秒\pi\mbox{cm}^3の割合で水を注ぐとき,
(1) 注水し始めてからこの容器がいっぱいになるまでの時間は(  )秒である.
(2) 注水し始めてから4秒後の水面が上昇する速さは(  )cm/秒である.
(3) 注水し始めてから4秒後の水面の半径が増大する速さは(  )cm/秒である.

2.(北海道大)
曲線y=x^2~(0 \leqq x \leqq 1)y軸の周りに回転してできる形の容器に水を満たす.この容器の底に排水口がある.時刻t=0に排水口を開けて排水を開始する.時刻tにおいて容器に残っている水の深さをh,体積をVとする.Vの変化率\dfrac{dV}{dt}\dfrac{dV}{dt}=-\sqrt{h}で与えられる.
(1) 水深hの変化率\dfrac{dh}{dt}hを用いて表せ.
(2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間Tを求めよ.

3.(京都大)
H>0,~R>0とする.空間内において,原点Oと点P(R,0,H)を結ぶ線分をz軸の周りに回転させてできる容器がある.この容器に水を満たし,原点から水面までの高さがhのときに単位時間あたりの排水量が\sqrt{h}となるように水を排水する.すなわち,時刻tまでに排水された水の総量をV(t)とおくとき,\dfrac{dV(t)}{dt}=\sqrt{h}が成り立つ.このときすべての水を排水するのに要する時間を求めよ.

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