水の問題

2017年12月21日

最後に水の問題です。

１．(東洋大)
$xy$ 平面を水平にとり， $xz$ 平面において関数 $z=f(x)$ を
$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0~(0 \leqq x \leqq 1)\\ x^2-1~(1 \leqq x \leqq 3) \end{array}\right.$
で定義する．曲線 $z=f(x)$ を $z$ 軸の周りに回転してできる容器について考える．ただし，この容器に関する長さの単位はcmである．この容器に毎秒 $\pi\mbox{cm}^3$ の割合で水を注ぐとき，
(1) 注水し始めてからこの容器がいっぱいになるまでの時間は(　　)秒である．
(2) 注水し始めてから4秒後の水面が上昇する速さは(　　)cm/秒である．
(3) 注水し始めてから4秒後の水面の半径が増大する速さは(　　)cm/秒である．

２．(北海道大)
曲線 $y=x^2~(0 \leqq x \leqq 1)$ を $y$ 軸の周りに回転してできる形の容器に水を満たす．この容器の底に排水口がある．時刻 $t=0$ に排水口を開けて排水を開始する．時刻 $t$ において容器に残っている水の深さを $h$ ，体積を $V$ とする． $V$ の変化率 $\dfrac{dV}{dt}$ は $\dfrac{dV}{dt}=-\sqrt{h}$ で与えられる．
(1) 水深 $h$ の変化率 $\dfrac{dh}{dt}$ を $h$ を用いて表せ．
(2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 $T$ を求めよ．

３．(京都大)
$H>0,~R>0$ とする．空間内において，原点Oと点P $(R,0,H)$ を結ぶ線分を $z$ 軸の周りに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが $h$ のときに単位時間あたりの排水量が $\sqrt{h}$ となるように水を排水する．すなわち，時刻 $t$ までに排水された水の総量を $V(t)$ とおくとき， $\dfrac{dV(t)}{dt}=\sqrt{h}$ が成り立つ．このときすべての水を排水するのに要する時間を求めよ．

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