ベクトルの分解

2018年1月7日

ベクトルの分解の問題です。平面ベクトルは1次独立である (ともに0ベクトルではなく平行でない)2つのベクトルの1次結合 (定数倍の和)の形で1通りに表すことができます。理屈は次に回して感覚をつかんでください。

1.
正六角形ABCDEFにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AF}}=\vec{b}とするとき,次のベクトルを\vec{a},~\vec{b}で表せ.
(1) \overrightarrow{\mbox{CE}}
(2) \overrightarrow{\mbox{BD}}
(3) \overrightarrow{\mbox{CB}}
(4) \overrightarrow{\mbox{DF}}

2.
\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array} \right)であるとき,ベクトル\vec{c}=\left( \begin{array}{r} 5\\ 4 \end{array} \right)h\vec{a}+k\vec{b}の形に表せ.

3.(熊本県立大)
正五角形ABCDEにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=\vec{b}とおくとき,3つのベクトル\overrightarrow{\mbox{BC}},~\overrightarrow{\mbox{DC}},~\overrightarrow{\mbox{ED}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.

解答

4.(立命館大)
正八角形ABCDEFGHにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AH}}=\vec{b}とする.また,AFとCH, DHとの交点をそれぞれI, Jとするとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{AI}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AJ}}\overrightarrow{\mbox{AH}}\overrightarrow{\mbox{AD}}を用いて表せ.また,\mbox{HJ}:\mbox{JD}を求めよ.

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