1次独立１

2017年12月22日2017年12月23日

1次独立という概念についてしっかりと理解して下さい。

１．(岐阜大)
ベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ について
条件「 $\alpha,~\beta$ を実数として， $\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0}$ ならば， $\alpha=\beta=0$ である」が満たされているとき， $\vec{a},~\vec{b}$ は1次独立であるという．
(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とが1次独立でない条件を求めよ．
(2) $\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -2 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} -3\\ 1 \end{array} \right)$ とするとき， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は1次独立であることを示せ．
(3) ベクトル $\vec{c}$ は大きさが5で $\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -2 \end{array} \right)$ とは1次独立でないとき $\vec{c}$ を求めよ．

次は「平面上の任意のベクトルは2つの1次独立なベクトルを用いてただ1通りに分解できる」という分解の一意性を示す問題です。分解の一意性が成り立つことによって係数比較ができることになります。

２．(鳥取大)
同一直線上にない3点O, A, Bがある．このとき，
$a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}=c\overrightarrow{\mbox{OA}}+d\overrightarrow{\mbox{OB}}$
が成立するのは「 $a=c$ かつ $b=d$ 」に限ることを背理法を用いて証明せよ．

分解の一意性を利用する問題をいくつか。

３．(北里大)
互いに平行ではない2つのベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ (ただし， $\vec{a} \ne \vec{0},~\vec{b} \ne \vec{0}$ とする)があって，これらが $s(\vec{a}+3\vec{b})+t(-2\vec{a}+\vec{b})=-5\vec{a}-\vec{b}$ を満たすとき， $s,~t$ の値を求めよ．

４．(防衛医大)
平面上の6点O, A, B, C, M, Hが次の条件を満たしている．このとき，実数 $s$ と $t$ の積 $st$ の値を求めよ．
(ⅰ) $\overrightarrow{\mbox{OA}}=2\overrightarrow{\mbox{OM}}$
(ⅱ) $3\overrightarrow{\mbox{AB}}=8\overrightarrow{\mbox{AH}}$
(ⅲ) $\overrightarrow{\mbox{MC}}=4\overrightarrow{\mbox{MH}}$
(ⅳ) $\overrightarrow{\mbox{OC}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}$
(ⅴ) $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ は平行ではない．

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