1次独立2

1の続きです。

1.(滋賀医科大)
平面上に点O, A, B, Cがあり,どの3点も一直線上にないとする.
(1) u\overrightarrow{\mbox{OA}}+v\overrightarrow{\mbox{OB}}+w\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0},~u+v+w=0ならばu=v=w=0であることを示せ.ただし\vec{0}は零ベクトルを表す.
(2) 平面上に点Pをとると,p+q+r=1を満たすp,~q,~rにより,\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}+r\overrightarrow{\mbox{OC}}と表されることと,このようなp,~q,~rはただ1通りであることを示せ.
(3) a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}+c\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0},~a+b+c=1を満たすa,~b,~cがただ1通りに決まることを示せ.
(4) 点Pが\bigtriangleupOABの重心であるときp,~q,~ra,~b,~cで表せ.

2.(東北大)
一直線上にない3点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とする.0<t<1を満たす実数tに対して,\bigtriangleupABCの辺BC, CA, ABをt:(1-t)に内分する点をそれぞれD, E, Fとする.また,線分BEとCFの交点をG,線分CFとADの交点をH,線分ADとBEの交点をIとする.
(1) 実数x,~y,~zx+y+z=0,~x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=\vec{0}を満たすとき,x=y=z=0となることを示せ.
(2) 点Gの位置ベクトル\vec{g}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c},~tで表せ.
(3) 3点G, H, Iが一致するようなtの値を求めよ.

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