分点公式2

2018年1月7日

分点公式を利用して三角形のある頂点と三角形の重心、内心、傍心を結んだベクトルを求める問題です。

1.(東京理科大)
三角形OABにおいて,\mbox{OA}=3,~\mbox{OB}=4,~\mbox{AB}=2とする.三角形OABの重心をG,内心をIとするとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OG}},~\overrightarrow{\mbox{OI}}をベクトル\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.

2.(九州大)
\bigtriangleupOABにおいて,辺AB上に点Qをとり,直線OQ上に点Pをとる.ただし,点Pは点Qに関して点Oと反対側にあるとする.3つの三角形\bigtriangleupOAP, \bigtriangleupOBP, \bigtriangleupABPの面積をそれぞれa,~b,~cとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OQ}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}およびa,~bを用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}およびa,~b,~cを用いて表せ.
(3) 3辺OA, OB, ABの長さはそれぞれ3, 5, 6であるとする.点Pを中心とし,3直線OA, OB, ABに接する円が存在するとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}}\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.

解答

3.(芝浦工業大)
三角形ABCの重心Gを通る直線と辺AB,辺ACとの交点をそれぞれD, Eとするとき,\mbox{DG}:\mbox{GE}=2:3となった.ここで,\overrightarrow{\mbox{AD}}=k\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=l\overrightarrow{\mbox{AC}}とおくとき,kの値を求めよ.また,三角形DGBと三角形CEGの面積比\bigtriangleup\mbox{DBG}:\bigtriangleup\mbox{CEG}を求めよ.

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